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En géométrie, le périmètre d'un trapèze est la somme de la longueur de ses côtés. Lorsque toutes les informations sont disponibles, ce calcul est aisé [1] X Source de recherche . Dans le cas contraire, le calcul du périmètre nécessite plusieurs étapes intermédiaires afin de trouver les dimensions manquantes. Le recours aux théorèmes mathématiques ou à la trigonométrie peut alors être nécessaire. Concernant les notations utilisées dans l'article, sachez que la longueur d'un segment [AB] s'écrit AB.
Étapes
Méthode 1
Méthode 1 sur 3:
Calculer le périmètre d'un trapèze connaissant toutes ses dimensions
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Notez la formule de calcul du périmètre d'un trapèze ABCD. Soit [DC] la grande base, [AB] la petite base, [AD] et [BC] les deux autres côtés du polygone. Comme pour tous les quadrilatères, le périmètre P du trapèze est égal à la somme de la longueur des quatre côtés [2] X Source de recherche . En l'espèce, il est donné par la formule suivante : P = AB + BC + CD + DA.
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Intégrez les valeurs numériques dans la formule. Pour calculer le périmètre d'un trapèze en une étape, vous devez disposer de ses quatre longueurs.
- Supposons les longueurs suivantes, exprimées en centimètres : DC = 3, AB = 2, AC = BC = 1. Dans ce cas particulier, notez qu'il s'agit d'un trapèze isocèle, car ses côtés non parallèles ont la même longueur.
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Additionnez les longueurs. Si l'on reprend les valeurs numériques, le périmètre du trapèze est de 7 cm.
- Le calcul détaillé est P = 3 + 2 + 1 + 1 = 7.
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Méthode 2
Méthode 2 sur 3:
Calculer le périmètre d'un trapèze à l'aide du théorème de Pythagore
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Décomposez votre trapèze en trois figures plus simples. Soit ABCD un trapèze dont vous connaissez la hauteur, les dimensions de la petite base [AB] ainsi que des côtés non parallèles [AD] et [BC]. La longueur de la grande base [DC] est donc l'inconnue que vous devez trouver. Pour cela, il faut décomposer le polygone. Le trapèze est un quadrilatère particulier, car ses bases sont parallèles. Il est ainsi possible de le diviser en trois figures simples, à savoir un rectangle encadré par deux triangles rectangles. Pour les figurer, tracez les deux hauteurs issues des sommets A et B [3] X Source de recherche .
- Pour calculer le périmètre d'un trapèze rectangle, divisez‑le en deux figures simples. En effet, il dispose d'au minimum un angle droit et peut être décomposé en un rectangle et un triangle rectangle [4] X Source de recherche .
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Nommez les sommets de votre figure. Outre les points A, B, C et D du trapèze initial, ajoutez les points H 1 et H 2 . Ils représentent les intersections entre les hauteurs et la grande base. Vous obtenez ainsi les triangles BCH 2 et ADH 1 .
- Les bases du trapèze étant parallèles, les deux hauteurs ont la même longueur. Celle‑ci est également la largeur du rectangle. Supposons que la hauteur du trapèze mesure 6 cm. Vous avez donc AH 1 = BH 2 = 6.
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Notez les dimensions du rectangle ABH 2 H 1 . Le découpage du trapèze permet de les déduire aisément. La longueur du rectangle est égale à celle de la petite base du trapèze et sa largeur équivaut à la hauteur.
- Supposons que la petite base mesure 6 cm. La longueur du rectangle est également de 6 cm, ce qui donne AB = H 2 H 1 = 6. Dans ce cas particulier, notez que le polygone ABH 2 H 1 est un carré. Ceci dit, cette observation n'impacte pas le calcul.
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Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer les dimensions des triangles BCH 2 et ADH 1 . Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, lequel est défini par une hauteur et la base associée [5] X Source de recherche . Le théorème de Pythagore énonce que, dans le cas d'un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés [6] X Source de recherche . Notez que, par abus de langage, la longueur du côté est assimilée audit côté.
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Appliquez le théorème de Pythagore au triangle BCH 2 . Soit [BC] son hypoténuse [BH 2 ] sa hauteur et [CH 2 ] sa base. Selon le théorème de Pythagore, le rapport des longueurs donne BC 2 = BH 2 2 + CH 2 2 .
- Notez que l'hypoténuse du triangle BCH 2 est également le côté [BC] du trapèze. Vous disposez donc des longueurs de l'hypoténuse et d'un des côtés du triangle.
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Isolez la dimension inconnue du triangle. Pour cela, affinez la formule du théorème de Pythagore. Vous avez donc CH 2 2 = BC 2 - BH 2 2 . Donc CH 2 = √(BC 2 - BH 2 2 ).
- Supposons BH 2 = 6 et BC = 9. En insérant ces données dans la formule précédente, vous obtenez CH 2 2 = (9 2 - 6 2 ) = 45.
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Calculez la longueur de la base du triangle BCH 2 . Reprenez la formule établie à l'étape précédente. En intégrant les données numériques, vous obtenez CH 2 2 = 45 soit CH 2 = √45. Il faut ensuite simplifier ce résultat.
- Hormis les carrés parfaits, la racine carrée d'un nombre est rarement un entier. Par exemple, la racine carrée de 45 vaut 6,71. Le résultat simplifié donne donc √45 = √(9 x 5) = √9 x √5 = 3√5.
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Calculez la longueur de la base du triangle ADH 1 . Soit [AH 1 ] sa hauteur [AD] son hypoténuse et [DH 1 ] sa base. Pour calculer la longueur de la base, appliquez à nouveau la formule du théorème de Pythagore. Pour le triangle ADH 1 , vous avez AD 2 = AH 1 2 + DH 1 2 . En isolant la base, vous obtenez DH 1 2 = AD 2 - AH 1 2 , ce qui donne DH 1 = √(AD 2 - AH 1 2 ). Notez que, si vous cherchez le périmètre d'un trapèze isocèle, les côtés latéraux ont la même longueur. En décomposant cette figure, vous obtenez deux triangles identiques, ce qui facilite les calculs.
- Supposons AH 1 = 6 et AD = 7. Cela donne DH 1 = √(7 2 - 6 2 ) = √13.
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Calculez le périmètre de votre trapèze. Calculez la longueur de la grande base. Compte tenu des résultats précédents, vous avez DC = DH 1 + H 1 H 2 + H 2 C. La formule du périmètre P est donc P = DH 1 + H 1 H 2 + H 2 C + AB + BC + AD. Il est préférable de garder vos valeurs, notamment les racines carrées, sous forme d'entier.
- En remplaçant par les valeurs numériques, vous obtenez DC = √13 + 6 + 3√5 et P = √13 + 6 + 3√5 + 6 + 9 + 7 = 28 + 3√5 + √13. Le périmètre du trapèze est donc de 38,3 cm (arrondi au dixième près).
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Méthode 3
Méthode 3 sur 3:
Calculer le périmètre d'un trapèze à l'aide de la trigonométrie
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Divisez le trapèze en trois figures simples. Soit un trapèze ABCD dont vous connaissez la hauteur, la dimension de la petite base [AB] et la valeur des angles définis par la grande base. Comme dans la méthode précédente, la décomposition du trapèze facilite le calcul. Tracez les hauteurs issues des sommets A et B de votre trapèze.
- Notez H 1 et H 2 les points d'intersection entre les hauteurs et la grande base. Votre trapèze est ainsi divisé en un rectangle ABH 2 H 1 et deux triangles rectangles, notés BCH 2 et ADH 1 .
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Déduisez la largeur du rectangle. Dans la mesure où les bases du trapèze sont parallèles, les deux hauteurs ont la même longueur. Elle est également la largeur du rectangle.
- Supposons que la hauteur mesure 6 cm. Vous avez donc AH 1 = BH 2 = 6.
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Déduisez la longueur du rectangle ABH 2 H 1 . Elle est égale à celle de la petite base [AB].
- Supposons que la petite base mesure 6 cm. Vous avez donc AB = H 1 H 2 = 6. Dans ce cas particulier, la largeur et la longueur du rectangle sont identiques, ce qui en fait un carré.
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Calculez les dimensions des côtés non parallèles du trapèze. Compte tenu de vos données, vous pouvez les trouver grâce à la trigonométrie. En effet, les côtés non parallèles du trapèze se confondent avec l'hypoténuse des triangles rectangles qui le composent. Or, dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est égal au rapport entre les longueurs du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse [7] X Source de recherche .
- Vous disposez de la valeur des angles en C et en D ainsi que de la hauteur du trapèze. Or, dans les triangles BCH 2 et ADH 1 , les segments [BH 2 ] et [AH 1 ] sont respectivement les côtés opposés à ces angles. Vous pouvez donc calculer la longueur de leur hypoténuse grâce à la formule du sinus.
- La trigonométrie est un outil intéressant dans les calculs géométriques. Outre le sinus, vous pouvez également utiliser le cosinus [8] X Source de recherche ou la tangente [9] X Source de recherche d'un angle pour trouver une dimension dans un triangle rectangle.
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Calculez la longueur de l'hypoténuse du triangle BCH 2 . Soit [BC] l'hypoténuse du triangle α 2 l'angle en C et [BH 2 ] le côté opposé à cet angle. En reprenant la relation trigonométrique, vous avez sin α 2 = BH 2 / BC.
- Supposons que l'angle en C mesure 35°. Cela donne sin 35 = BH 2 / BC.
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Calculez le sinus de l'angle en C. Il n'existe que quelques valeurs remarquables en trigonométrie. Pour les autres, vous devez utiliser une calculatrice scientifique.
- Dans notre exemple, le sinus de l'angle en C vaut 0,57. Vous pouvez conserver la valeur entière comportant le sinus ou l'arrondir. La précision de l'arrondi dépend de celle requise par votre travail.
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Calculez la valeur numérique de l'hypoténuse du triangle BCH 2 . En reprenant la formule trigonométrique précédente, vous obtenez BC = BH 2 / sin α 2 .
- Avec les données numériques, vous obtenez BC = 6 / sin 35 = 10,46. Le côté [BC] du trapèze mesure donc 10,5 cm (arrondi au dixième près).
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Procédez de même pour le triangle ADH 1 . Le sinus de l'angle en D, noté α 1 , correspond au rapport entre les longueurs du côté opposé [AH 1 ] et de l'hypoténuse [AD]. En reprenant la formule trigonométrique, vous obtenez donc sin α 1 = AH 1 / AD soit AD = AH 1 / sin α 1 .
- Supposons que l'angle en D mesure 45°. Vous avez donc AD = 6 / sin 45 = 8,49. Le côté [AD] du trapèze mesure 8,5 cm (arrondi au dixième près).
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Calculez la longueur de la base des triangles. Cela vous permettra de déterminer la longueur de la grande base du trapèze. Grâce à vos précédents calculs, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le rapport des longueurs est particulier. Selon le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Notez que, par abus de langage, la longueur d'un côté est désignée par ledit côté.
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Calculez la longueur de la base du triangle BCH 2 . Il s'agit du segment [CH 2 ]. En reprenant la formule du théorème de Pythagore et les notations précédentes, BC 2 = BH 2 2 + CH 2 2 . En isolant la longueur de la base, vous obtenez CH 2 = √(BC 2 - BH 2 2 ).
- Avec les données numériques, vous avez CH 2 = √(10,5 2 - 6 2 ) = 8,56. Le segment [CH 2 ] mesure 8,6 cm (arrondi au dixième près).
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Procédez de même pour le triangle ADH 1 . En appliquant la formule du théorème de Pythagore, vous avez AD 2 = AH 1 2 + DH 1 2 . En isolant la longueur de la base, vous obtenez DH 1 = √(AD 2 - AH 1 2 ).
- En incluant les données numériques, la longueur de la base du triangle vaut 6 cm. Le calcul est DH 1 = √(8,5 2 - 6 2 ) = 6,02. Le segment [DH 1 ] mesure donc 6 cm (arrondi au dixième près).
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Calculez la longueur de la grande base. Elle est la somme de la longueur du rectangle et des bases des triangles que vous avez calculées. En reprenant les notations précédentes, vous avez DC = DH 1 + H 1 H 2 + CH 2 .
- En intégrant les données numériques, vous obtenez DC = 6 + 6 + 8,6 = 20,6. La grande base de trapèze mesure 20,6 cm.
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Calculez le périmètre du trapèze. Sommez les dimensions des côtés du polygone. La formule du périmètre P est la suivante : P = AB + BC + CD + DA.
- En remplaçant par les valeurs numériques, vous obtenez P = 6 + 10,5 + 20,6 + 8,5 = 45,6. Le périmètre du trapèze est donc de 45,6 cm.
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Conseils
- Utilisez les propriétés des triangles particuliers afin de trouver les dimensions manquantes. Par exemple, sachez que les rapports entre les longueurs sont remarquables dans le cas des triangles rectangles isocèles ou des triangles rectangles possédant des angles de 30° et 60° [10] X Source de recherche .
- Gardez une calculatrice scientifique à portée de main. Elle est indispensable pour les calculs trigonométriques et la conversion des racines carrées. Vous pouvez également en trouver en ligne .
- Indiquez les dimensions directement sur votre figure au fur et à mesure.
- À moins que vos calculs nécessitent une précision absolue, vous pouvez vous contenter d'arrondir les dimensions au dixième près.
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Éléments nécessaires
- Une calculatrice scientifique
- Un crayon à papier
- Une feuille de papier
Références
- ↑ http://www.recreomath.qc.ca/am_trapeze.htm
- ↑ http://maths.samomoi.com/trapeze-508.php
- ↑ https://www.geogebra.org/m/TJB7GM2K
- ↑ http://warmaths.fr/MATH/geometr/quadrlla/trapeze.htm
- ↑ http://www.comment-calculer.net/aire-du-triangle-rectangle.php
- ↑ http://myriam.collenne.free.fr/4_pythagore.htm
- ↑ http://www.trigofacile.com/maths/trigo/notions/fonctions/rectangle.htm
- ↑ http://maths.vivien.free.fr/Documents/4e/CR4_cosinus.pdf
- ↑ http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./t/tangentef.html
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