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Comprendre l'algèbre peut sembler difficile au début. Cependant, si vous maitrisez correctement les opérations mathématiques de base et apprenez quelques notions algébriques, vous pourrez comprendre beaucoup plus facilement cette matière. Les principales étapes pour résoudre les problèmes algébriques consistent à effectuer progressivement des opérations simples qui vous aideront à traiter le problème initial. En opérant avec précaution et dans l'ordre, vous devriez trouver la solution.
Étapes
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Lisez attentivement les consignes du problème. Lorsque vous avez un ou plusieurs problèmes algébriques, vous devez lire attentivement les instructions. Recherchez des mots-clés dans les consignes, tels que résoudre , simplifier , factoriser ou réduire . Ces mots font généralement partie des instructions les plus courantes que vous rencontrerez, bien qu'il y en ait d'autres que vous apprendrez. Beaucoup de personnes éprouvent des difficultés parce qu'elles essaient de résoudre un problème mathématique alors qu'elles devraient juste le simplifier [1] X Source de recherche .
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Effectuez les opérations indiquées. Lorsque vous lisez les instructions d'un problème mathématique, il est important d'identifier les mots-clés avant de pouvoir effectuer ces opérations. L'algèbre rebute la plupart des gens quand ils sont obligés de passer par d'autres méthodes pour pouvoir résoudre un exercice mathématique. Les opérations de base que vous rencontrerez souvent dans les problèmes sont les suivantes [2] X Source de recherche .
- La résolution . Il s'agira de réduire votre problème à une vraie solution numérique, comme x = 4 . Cette opération consiste à trouver une valeur pour la variable permettant de résoudre l'exercice.
- La simplification . Il s'agira de modifier le problème de sorte à le simplifier, sans toutefois considérer le résultat obtenu comme une réponse . Il est très probable que vous n'obtiendrez pas une seule valeur numérique pour la variable.
- La factorisation
. Cette opération est semblable à la simplification
et est habituellement utilisée dans les exercices relatifs aux fractions ou aux polynômes complexes. En quelques mots, la factorisation consiste à trouver un moyen de réduire un problème. Voici un exemple. Étant donné que le nombre 12 peut être décomposé en produit de facteurs premiers 3 x 4, vous avez la possibilité de factoriser tout polynôme algébrique.
- Supposons l'expression . Elle peut être décomposée en facteurs et .
- Supposons l'expression . Elle peut être factorisée en et .
- La réduction
. En général, la réduction
d'un problème consiste à faire la factorisation et la simplification. Il s'agira de décomposer les termes d'un numérateur (chiffre du haut) et d'un dénominateur (chiffre du bas) dans leurs facteurs premiers. Ensuite, vous devriez chercher les facteurs communs au numérateur et au dénominateur et les supprimer. Ce que vous obtenez représente la forme la plus simple de l'expression initiale. Soit l'expression
. Essayez de la réduire à sa forme la plus simple :
- factorisez d'abord le numérateur et le dénominateur : ;
- recherchez les termes en commun. Le numérateur et le dénominateur ont tous deux des facteurs 2 et x ;
- supprimez ensuite les termes communs : ;
- copiez enfin ce qui reste : .
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Apprenez la différence entre expression et équation . En algèbre, il est très important de faire la distinction entre ces deux termes. On appelle expression un ensemble de nombres et de variables regroupés. , et sont quelques exemples d'expressions mathématiques. Quand vous avez une expression dans un exercice, la seule chose que vous puissiez faire est de la simplifier ou de la factoriser. Par contre, une équation n'est rien d'autre qu'une égalité mathématique entre des nombres. Il est possible de simplifier ou factoriser une équation, mais aussi de la résoudre pour obtenir une réponse finale. Et cette distinction est très importante [3] X Source de recherche .
- Dans une expression, telle que , il est impossible de trouver une seule réponse ou une seule solution . À supposer que , l'expression sera égale à 4 et si l'on suppose que , l'expression deviendra , qui sera égale à 16. C'est la raison pour laquelle vous ne pouvez pas obtenir une seule réponse .
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Mémorisez PEMDAS. En algèbre, pour résoudre un problème, il est important d'effectuer les calculs dans un ordre logique et l'on parle de l' ordre des opérations ou encore de la priorité des opérations . Vous pouvez retenir facilement l'ordre des opérations mathématiques, en mémorisant PEMDAS. Les lettres de ce moyen mnémotechnique vous aideront à connaitre l'ordre dans lequel vous devez effectuer les opérations. Les lettres de ce mot représentent chacune une des opérations suivantes [4] X Source de recherche :
- parenthèses ;
- exposants ;
- multiplication ;
- division ;
- adition ;
- soustraction.
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Effectuez d'abord les opérations entre parenthèses. Lorsque vous avez une expression ou une équation comprenant des termes entre parenthèses, vous devez d'abord les résoudre. Examinez la différence entre et [5] X Source de recherche .
- Sans les parenthèses, la première expression deviendrait .
- Avec les parenthèses, dans l'expression , vous devez d'abord résoudre (3+2) de sorte que l'expression simplifiée devienne .
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Simplifiez tout exposant ensuite. La prochaine étape consiste à résoudre les exposants afin de simplifier ou de résoudre votre problème. Considérez l'expression . Sans tenir compte de l'ordre des opérations, il est difficile de savoir si l'on doit d'abord multiplier pour ensuite élever au carrée le résultat ou si l'on doit d'abord élever au carré 2 pour ensuite le multiplier par 3. Dans le premier cas, on obtient 36 comme résultat final et dans le deuxième cas 12. En appliquant l'ordre des opérations mathématiques, on obtient la bonne réponse [6] X Source de recherche :
- ;
- en mettant d'abord au carré le chiffre 2, on a ;
- puis on obtient la bonne réponse .
-
Multipliez ou divisez de la droite vers la gauche. Les lettres M et D correspondent respectivement à la multiplication et à la division et elles suivent le même principe. Après avoir résolu tous les exposants, vous devez effectuer la multiplication ou la division des termes en partant de la gauche vers la droite [7] X Source de recherche :
- ;
- 4*2 = 8 et 6 / 3 = 2 (ces calculs peuvent être effectués dans la même étape).
-
Additionnez ou soustrayez les termes de la droite vers la gauche. Les lettres A et S qui correspondent à l'addition et à la soustraction viennent en dernier. Autrement dit, vous devez additionner ou soustraire tout terme restant dans l'expression. Vous pouvez le faire dans la même étape, en partant de la droite vers la gauche. Considérez l'expression [8] X Source de recherche :
- ;
- (faites 4 + 2) ;
- (faites 6 - 3) ;
- (faites 3 - 1) ;
- (faites 2 - 5) ;
- (faites - 3 + 1).
- Si vous faites ces calculs dans n'importe quel ordre, vous pouvez obtenir un autre résultat qui sera incorrect. Par exemple, procédons d'abord aux additions, puis aux soustractions :
- ;
- (faites 4 + 2 et ensuite 5 + 2) ;
- (faites 6 - 3) ;
- (faites 3 - 1) ;
- (faites 2 - 7. On obtient comme résultat - 5, ce qui est faux).
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Habituez-vous à utiliser des symboles en dehors des nombres. En primaire, seuls les nombres sont utilisés en mathématiques. Apprendre l'algèbre revient à résoudre des problèmes avec des termes inconnus. Ceux-ci sont représentés par des lettres. Vous devriez vous habituer à les considérer comme des chiffres, même si vous ne connaissez pas encore leur valeur réelle. Voici quelques exemples courants de variables.
- Les lettres telles que , ou .
- Les symboles grecs, tels que , ou .
- Notez que certains symboles peuvent ressembler à des variables, mais il s'agit en fait de nombres connus. Par exemple, le symbole grec représente le nombre 3,1415.
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Considérez une variable comme un paramètre de substitution inconnu. Si vous pensez à la phrase deux fois un nombre inconnu , vous pouvez l'exprimer avec une variable comme . La variable remplace un nombre inconnu . Habituellement, vous n'aurez qu'à trouver la valeur de la variable en question.
- Supposons que vous avez l'équation . Vous devriez vous poser la question de savoir quel nombre devrait être ajouté à 4 pour que l'on puisse obtenir 9. La réponse est 5, que vous pouvez écrire algébriquement comme suit : .
-
Combinez les variables communes. Lorsque vous apprenez à considérer les variables comme des chiffres, il est possible de les combiner ou les simplifier, tout comme vous le faites avec les nombres. On parle généralement de combinaison des termes identiques [9] X Source de recherche .
- Par exemple, signifie seulement que 2 fois la variable ajoutée à 3 fois la même variable sera égale à 10. Si vous avez 2 fois quelque chose et 3 fois la même chose, vous pouvez ajouter les deux éléments ensemble. Ensuite, deviendra 5x, ce qui veut dire que le problème est et la réponse est .
- Vous ne pouvez additionner ou soustraire que la même variable. Certains problèmes d'algèbre peuvent comporter deux ou plusieurs variables. Dans le problème , il est impossible de combiner les termes et , car les différentes variables représentent des nombres inconnus différents.
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Partie 4
Partie 4 sur 5:
Résoudre des problèmes d'algèbre avec des opérations inverses
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Apprenez-en plus sur le concept des fonctions inverses. L'un des secrets pour réussir les problèmes d'algèbre c'est d'utiliser le concept des fonctions inverses. Le mot inverse signifie opposé . Avec les fonctions inverses, vous pouvez résoudre un problème. Par exemple, si un problème particulier contient une opération de multiplication, vous devrez utiliser la division, qui est l'inverse de la multiplication, pour faire le calcul [10] X Source de recherche .
- La soustraction est l'opération inverse de l'addition.
- L'addition est l'opération inverse de la soustraction.
- La division est l'opération inverse de la multiplication.
- La multiplication est l'opération inverse de la division.
- L'inverse d'un exposant est une racine (racine carrée, racine cubique, etc.).
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Isolez la variable. Résoudre une équation revient à réécrire le problème comme suit __, avec un nombre dans l'espace vide. Vous devez utiliser des calculs pour faire disparaitre tout ce qui se trouve à côté du terme , de sorte à obtenir uniquement les termes numériques à gauche du signe d'égalité. Pour ce faire, vous devez effectuer une série d'opérations inverses [11] X Source de recherche .
- N'oubliez pas cette règle : si vous effectuez des opérations à gauche du signe d'égalité, vous devez le faire également à droite. Ainsi, l'équation demeure équilibrée et égale.
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Faites disparaitre l'addition à l'aide de la soustraction (et vice versa). Les termes individuels d'une équation sont liés par une combinaison de signes plus et moins. Vous pouvez les faire disparaitre pour laisser la variable seule en appliquant le concept des fonctions inverses [12] X Source de recherche .
- Prenez l'exemple de cette équation
et essayez d'avoir d'un seul côté la variable
. L'inverse de
est
. N'oubliez pas que vous devez faire les calculs de part et d'autre du signe d'égalité. On obtient donc ce qui suit :
- ;
- (soustrayez 3 de chaque terme de part et d'autre du signe d'égalité) ;
- (+ 3 et - 3 s'annulent mutuellement pour laisser place à la solution).
- Si vous commencez avec une opération de soustraction, vous devez neutraliser ces termes de la même manière en effectuant une opération d'addition :
- ;
- (ajoutez 8 à chaque terme de part et d'autre du signe d'égalité) ;
- (+ 8 et - 8 s'annulent mutuellement pour laisser place à la solution).
- Prenez l'exemple de cette équation
et essayez d'avoir d'un seul côté la variable
. L'inverse de
est
. N'oubliez pas que vous devez faire les calculs de part et d'autre du signe d'égalité. On obtient donc ce qui suit :
-
Annulez la multiplication en utilisant la division (et vice versa). De la même manière, vous pouvez effectuer des opérations inverses de multiplication et de division. Le terme signifie . Pour isoler la variable, vous devrez procéder à une division. Étant donné qu'il s'agit d'une équation, vous devez également diviser les deux côtés de l'égalité [13] X Source de recherche .
- Supposons que vous avez cette équation
. Étant donné qu'il s'agit d'un problème de multiplication, vous devrez procéder à une division pour obtenir le résultat :
- ;
- (divisez les deux côtés du signe d'égalité par 3. N'oubliez pas que le n'est pas très utilisé en algèbre. Vous devriez plutôt réécrire votre opération sous forme de fraction) ;
- (le numérateur du terme qui se trouve à gauche et le 3 permettant de procéder à la division s'annulent pour laisser place à la solution).
- Faites la même chose pour faire disparaitre une division en procédant à une multiplication. Supposons cette équation
:
- ;
- (multipliez les deux cotés par 4) ;
- (le chiffre 4 qui se trouve à gauche et le chiffre 4 permettant de procéder à la division s'annulent pour laisser place à la solution).
- Supposons que vous avez cette équation
. Étant donné qu'il s'agit d'un problème de multiplication, vous devrez procéder à une division pour obtenir le résultat :
-
Combinez différentes opérations. Utilisez une combinaison d'addition ou de soustraction et de multiplication ou de division. Au fur et à mesure que les problèmes se compliquent, il faudra peut-être effectuer plusieurs opérations pour obtenir une solution. Habituellement, vous devrez d'abord additionner et soustraire les termes pour isoler la variable avec son coefficient. Ensuite, il vous faudra procéder à une multiplication et à une division pour trouver le résultat final [14] X Source de recherche .
- ;
- (d'abord, soustrayez 5 des deux côtés pour isoler le terme en x) ;
- (+ 5 et - 5 s'annulent du côté gauche) ;
- (divisez les deux côtés par 3) ;
- (le numérateur du terme qui se trouve à gauche et le 3 qui a permis de faire la division s'annulent pour laisser place à la solution).
-
Vérifiez votre résultat. En algèbre, vous pouvez presque toujours savoir si vous avez fait correctement un problème en vérifiant votre réponse. Prenez votre résultat et insérez-le dans le problème initial en remplaçant la variable. Ensuite, simplifiez le problème et si vous obtenez à nouveau l'énoncé mathématique, cela veut dire que votre réponse est correcte.
- Essayez avec l'exemple que vous venez de résoudre ;
. Remplacez la variable par la solution
:
- ;
- (insérez la valeur ) ;
- (simplifiez l'équation) ;
- (c'est exact, donc la solution de est correcte).
Publicité - Essayez avec l'exemple que vous venez de résoudre ;
. Remplacez la variable par la solution
:
-
Apprenez les opérations mathématiques de base. L'algèbre est une branche des mathématiques qui consiste à manipuler les nombres et les opérations afin de résoudre des problèmes. Au cours d'algèbre, vous apprendrez des règles que vous devez suivre pour traiter les problèmes. Toutefois, pour vous simplifier la tâche, vous pouvez bien maitriser les opérations mathématiques de base. Vous devez comprendre les petites opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division et savoir comment les utiliser. De manière plus spécifique, vous devriez pouvoir [15] X Source de recherche :
- faire une addition ou une soustraction mentalement. Pouvoir manipuler des nombres à deux chiffres est encore plus utile ;
- connaitre les tables de multiplication de 1 à 12 ;
- connaitre la division et les facteurs des nombres jusqu'à 144 (12 x 12).
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Utilisez les règles de maniement des fractions. En algèbre, on utilise des règles de fractions autant que tout autre système de numérotation. Vous devriez pouvoir trouver facilement les dénominateurs communs, additionner et soustraire les fractions, les multiplier et les diviser. Quand vous apprenez l'algèbre, vous devriez approfondir vos connaissances pour pouvoir travailler avec des variables inconnues, mais vous devez d'abord maitriser les notions de base [16] X Source de recherche .
- Comprenez l'importance du principe de réciprocité. Il est indispensable de connaitre le concept des nombres réciproques. En gros, un nombre réciproque est une fraction inversée. Ainsi, le nombre réciproque de est , celui de est . Lorsque vous êtes devant un problème complexe, utilisez le principe de réciprocité comme une alternative à la division. Au lieu de diviser un terme par une fraction, vous pouvez le multiplier par son nombre réciproque.
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Apprenez à utiliser les nombres négatifs. En algèbre, vous utiliserez souvent des variables ou des nombres négatifs. Vous devriez revoir les bases de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division des nombres négatifs relatifs avant d'apprendre cette branche des mathématiques. Voici quelques règles élémentaires qui vous aideront à effectuer des opérations avec des nombres négatifs [17] X Source de recherche . Vous trouverez également sur des sites éducatifs d'excellents articles qui traitent de ces notions.
- Sur une droite numérique, un nombre négatif est à la même distance à zéro qu'un nombre positif, mais dans la direction opposée.
- (-) + (-) = (-). L'addition de deux nombres de signes négatifs donne un nombre négatif plus grand.
- La somme de deux nombres opposés est toujours égale à zéro. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter le nombre positif correspondant.
- 4 - (-3) est la même chose que 4 + 3 = 7.
- La multiplication ou la division de deux nombres négatifs donne un nombre positif.
- La multiplication ou la division d'un nombre positif et d'un nombre négatif entraine une réponse négative.
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Conseils
- Utilisez de bonnes techniques d'étude. Suivez les cours, lisez les manuels et faites vos devoirs. Comprendre l'algèbre nécessite beaucoup de pratique.
- Travaillez avec votre professeur. Si vous avez des questions ou des préoccupations, parlez-en à votre professeur. Certains élèves peuvent comprendre l'algèbre très rapidement, alors que d'autres ont besoin d'un peu plus de temps. Votre professeur peut vous expliquer autrement les notions. Au lieu de baisser les bras, demandez de l'aide .
- Vérifiez toujours vos réponses. Quand vous terminez un exercice, vérifiez si votre résultat confirme que l'équation est correcte.
- Essayez de créer vous-même d'autres mnémotechniques pour retenir plus facilement l'ordre des opérations mathématiques. Peut-Être Mon Dernier AS est un excellent exemple, où la première lettre de chaque mot indique l'ordre de chaque opération.
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Références
- ↑ http://www.mathplanet.com/education/algebra-2/equations-and-inequalities/solve-equations-and-simplify-expressions
- ↑ http://www.mathplanet.com/education/algebra-2/equations-and-inequalities/solve-equations-and-simplify-expressions
- ↑ https://www.algebra.com/algebra/homework/equations/Equations.faq.question.231678.html
- ↑ http://www.coolmath.com/prealgebra/05-order-of-operations/05-order-of-operations-parenthesis-PEMDAS-01
- ↑ http://www.coolmath.com/prealgebra/05-order-of-operations/05-order-of-operations-parenthesis-PEMDAS-01
- ↑ http://www.coolmath.com/prealgebra/05-order-of-operations/05-order-of-operations-parenthesis-PEMDAS-01
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- ↑ http://www.algebrahelp.com/lessons/simplifying/combiningliketerms/
- ↑ https://www.mathsisfun.com/sets/function-inverse.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/sets/function-inverse.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/sets/function-inverse.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/sets/function-inverse.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/sets/function-inverse.html
- ↑ https://www.ixl.com/promo?partner=google&campaign=1087&adGroup=Math-Specific+K-8&gclid=CMq25b_49tICFd6CswodA5gMKw
- ↑ https://www.ixl.com/promo?partner=google&campaign=1087&adGroup=Math-Specific+K-8&gclid=CMq25b_49tICFd6CswodA5gMKw
- ↑ http://www.mathleague.com/index.php/about-the-math-league/mathreference?id=85
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