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आयताकर घन 6-सतहों वाली वस्तुओं को कहा जाता है जो कि सभी के लिए एक जाना पहचाना नाम है— एक बॉक्स। आप एक ईंट या जूते के बॉक्स के बारे में सोचकर एक आयताकार घन का ठीक-ठीक अनुमान लगा सकते हैं। किसी वस्तु के बाहरी विस्तार को उसका पृष्ठफल कहते हैं। “इस जूते के बॉक्स पर पेपर का आवरण लगाने के लिए कितना पेपर लगेगा” यह कम पेचीदा लगता है, लेकिन यथार्थतः इसमें समान गणित की आवश्यकता है।
चरण
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लम्बाई, चौड़ाई और ऊंचाई को चिन्हांकित करें: हर आयताकार घन में एक लम्बाई, चौड़ाई और ऊंचाई होती है। आयताकार घन का चित्र बनाएं, और इसके किनारों पर l , w , और h चिन्ह अंकित करें।
- यदि आप ये निश्चित नहीं कर पा रहें हैं कि किस भुजा को अंकित किया जाए, तो इसके किसी भी कोने को चुनें। उस कोने पर मिलने वाली तीन रेखाओं को चिन्हित करें।
- उदाहरण के लिए: एक बॉक्स के पृष्ठभाग का परिमाण 3 इंच और 4 इंच है, और यह 5 इंच ऊंचा है। सबसे लम्बी भुजा 4 इंच है, इसलिए l = 4, w = 3, और h = 5.
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आयताकार घन की छः सतहों को देखें: पुरे पृष्ठफल का पता लगाने के लिए आपको आयताकार घन की विभिन्न सतहों को रंगना होगा। हर एक सतह के बारे में सोचें — या एक सीरिअल (cereal) बॉक्स की तरफ सीधे देखें:
- इसमें ऊपरी और निचली सतह होती है। यह दोनों आकार में सामान होती है। [१] X रिसर्च सोर्स
- इसमें सामने और पीछे की सतह होती है। यह दोनों आकार में सामान होती है।
- इसमें दायीं और बायीं सतह होती है। यह दोनों आकार में सामान होती है।
- यदि आपको इसका अनुमान लगाने में कठिनाई हो रही है, तो एक बॉक्स को इसके एक किनारे से काटकर खोल लीजिये। [२] X रिसर्च सोर्स
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निचली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये: इसकी शुरुआत करते समय, पहले सिर्फ एक सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये: निचली सतह। हर सतह की तरह यह भी एक आयत है। इस आयत का एक किनारा लम्बाई और दूसरा किनारा चौड़ाई द्वारा अंकित किया गया है। इस आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इन दोनों किनारों का गुणनफल प्राप्त कीजिये। क्षेत्रफल (निचली सतह) = लम्बाई गुणा चौड़ाई = lw ।
- हमारे दिए गए उदाहरण के अनुसार, निचली सतह का क्षेत्रफल 4 इंच x 3 इंच = 12 वर्ग इंच .
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ऊपरी सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये: थोड़ा रुकिए — हमने पहले ही यह पता लगा लिया है कि निचली और ऊपरी सतह समान हैं। इसका क्षेत्रफल भी lw होगा।
- हमारे उदाहरण में, ऊपरी सतह का क्षेत्रफल भी 12 वर्ग इंच होगा।
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सामने और पिछली सतहों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये: अपनी आकृति में सामने वाली सतह को देखिये: इसके किनारे चौड़ाई और ऊंचाई द्वारा चिन्हित होंगे। सामने वाली सतह का क्षेत्रफल = चौड़ाई गुणा ऊंचाई = wh । पिछली सतह का क्षेत्रफल भी wh ।
- हमारे उदाहरण में, w = 3 इंच और h = 5 इंच, इसलिए सामने वाल सतह का क्षेत्रफल 3 इंच x 5 इंच= 15 वर्ग इंच . पिछली सतह का क्षेत्रफल भी 15 वर्ग इंच होगा।
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दायीं और बायीं सतहों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये: अभी सिर्फ दो सतहें बाकि हैं, जो कि समान आकार की है। इसका एक किनारा लम्बाई है और दूसरा किनारा ऊंचाई है। बायीं सतह का क्षेत्रफल lh है और दायीं सतह का क्षेत्रफल भी lh होगा।
- हमारे उदाहरण में, l = 4 इंच और h = 5 इंच, इसलिए बायीं सतह का क्षेत्रफल = 4 इंच x 5 इंच = 20 वर्ग इंच होगा। दायीं सतह का क्षेत्रफल भी 20 वर्ग इकाई होगा।
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इन छः क्षेत्रफलों का योगफल प्राप्त कीजिये: अभी आपने सभी छः सतहों का क्षेत्रफल ज्ञात कर लिया है। इन सभी क्षेत्रफलों को जोड़कर पूरी आकृति का क्षेत्रफल प्राप्त कीजिये: lw + lw + wh + wh + lh + lh । आप इस सूत्र को किसी भी आयताकार घन के लिए उपयोग कर सकते हैं, और इससे आपको इसका पृष्ठफल प्राप्त हो जायेगा।
- हमारे उदाहरण के अंतिम चरण में, आप सभी नीले अंकों को जोड़ दीजिये: 12 + 12 + 15 + 15 + 20 + 20 = 94 वर्ग इंच ।
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सूत्र को सरल कीजिये: अब आप आयताकार घन के पृष्ठफल को भलीभांति ज्ञात कर सकते हैं। आप इसे और त्वरित ज्ञात कर सकते हैं यदि आप कुछ मौलिक बीजगणित का उपयोग करते हैं। ऊपर दिए गए समीकरण से शुरू कीजिये: आयताकार घन का पृष्ठफल = lw + lw + wh + wh + lh + lh. इन सभी समान पक्षों को जोड़ने पर प्राप्त होगा:
- आयताकार घन का पृष्ठफल = 2lw + 2wh + 2lh
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दो को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालिए: यदि आप बीजगणित में गुणनखंड प्राप्त करना जानते हैं, तो आप इसे और छोटा कर सकते हैं:
- आयताकार घन का पृष्ठफल = 2lw + 2wh + 2lh = 2(lw + wh + lh) .
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एक उदाहरण द्वारा इसकी जाँच कीजिये: हम फिर से अपने बॉक्स वाले उदाहरण की तरफ जाते हैं, जिसकी लम्बाई 4, चौड़ाई 3 और ऊंचाई 5 है। इन अंको को सूत्र में डालिए:
- पृष्ठफल = 2(lw + wh + lh) = 2 x (lw + wh + lh) = 2 x (4x3 + 3x5 + 4x5) = 2 x (12 + 15 + 20) = 2 x (47) = 94 वर्ग इंच। यह वही उत्तर है जो हमने पहले प्राप्त किया है। इस समीकरण का अभ्यास कर लेने पर, यह पृष्ठफल ज्ञात करने का सबसे आसान और त्वरित तरीका है।
सलाह
- क्षेत्रफल में सदैव "वर्ग इकाई" जैसे कि वर्ग इंच या वर्ग सेंटीमीटर होती है। [३] X रिसर्च सोर्स एक वर्ग इंच का मतलब: एक वर्ग जो कि एक इंच लम्बा और एक इंच चौड़ा है। यदि एक आयताकार घन का क्षेत्रफल 50 वर्ग इंच है, तो इसका मतलब है आयताकार घन की सतह को ढंकने के लिए ऐसे 50 वर्ग चाहिए।
- कुछ शिक्षक “चौड़ाई” या “गहराई” जैसे नाम का भी प्रयोग करते हैं। यह ठीक है जब तक आप हर भुजा को सही सही चिन्हांकित करें।
- यदि आप को यह पता नहीं कि आयताकार घन का ऊपरी हिस्सा कौन सा है, तो आप इसकी किसी भी भुजा को ऊंचाई समझ सकते हैं। आमतौर पर सबसे लम्बी भुजा लम्बाई होती है, लेकिन यह भी जरुरी नहीं है। जब तक आप पुरे सवाल में समान नाम का उपयोग करें, यह ठीक है। [४] X रिसर्च सोर्स
रेफरेन्स
- ↑ http://www.math.com/tables/geometry/surfareas.htm
- ↑ http://education.seattlepi.com/surface-area-rectangular-prism-fifth-graders-5826.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/measurement/area-basics/v/introduction-to-area-and-unit-squares
- ↑ http://thinkmath.edc.org/resource/measurement-length-width-height-depth
