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Un parallélépipède rectangle est un nom savant pour désigner un objet à 6 faces, finalement très courant, que tout un chacun appelle… une boite ! Une brique, une boite à chaussures, un parpaing, voilà des exemples de parallélépipèdes rectangles ! La surface d'un tel objet est la somme des surfaces externes qui le composent. « Combien me faudra-t-il de papier cadeau pour envelopper cette boite à chaussures ? » Cette surface de papier est la surface du parallélépipède. Présenté ainsi, ce problème n'est pas si compliqué qu'il y parait.
Étapes
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Repérez la longueur, la largeur et la hauteur. Tout parallélépipède rectangle a une longueur, une largeur et une hauteur. Faites un croquis et indiquez par une lettre les trois côtés principaux en mettant un « L » pour la longueur, un « l » pour la largeur et un « h » pour la hauteur.
- Si vous ne savez pas trop comment procéder, prenez un des angles et étiquetez chacun des côtés qui convergent là.
- Prenons une boite qui a une base de 3 cm par 4 cm et qui mesure 5 cm de haut. La plus grande longueur de la base est appelée conventionnellement « longueur » (L) et ici, c'est 4 cm ; la plus petite est la « largeur » (l), soit 3 cm et enfin, la « hauteur » (h) est de 5 cm. En résumé, L = 4, l = 3 et h = 5.
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Portez votre attention sur les six faces du parallélépipède. Si vous deviez peindre cette boite, vous auriez à enduire 6 faces. Visualisez chacune d'elles - si vous n'y arrivez pas, pensez à une boite de céréales et regardez-la :
- il y a une face dessus et une, dessous, ayant toutes deux la même surface [1] X Source de recherche ;
- il y a une face devant et une, derrière, ayant toutes deux la même surface ;
- il y a une face à gauche et une, à droite, ayant toutes deux la même surface ;
- Si vous n'arrivez toujours pas à visualiser les six faces, découpez votre boite selon les arêtes et posez-les sur une table, en les groupant [2] X Source de recherche .
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Trouvez la surface de la face de dessous. Pour commencer, on va calculer une seule surface, celle de la face du bas. C'est donc un rectangle, comme toutes les autres faces d'ailleurs ! Ce rectangle est délimité par la longueur et la largeur du parallélépipède. Pour trouver l'aire d'un rectangle , il suffit de multiplier les deux côtés. Surface (du bas) = longueur x largeur = Ll .
- Reprenons notre exemple concret : la face du bas fait 4 cm de longueur sur 3 cm de largeur, d'où une surface de 12 centimètres carrés .
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Trouvez la surface de la face de dessus. N'a-t-on pas signalé précédemment que cette face était identique à celle du bas ? Sa surface est donc égale à : Ll .
- Reprenons notre exemple concret : la face du haut fait 4 cm de longueur sur 3 cm de largeur, d'où une surface de 12 centimètres carrés .
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Trouvez la surface des faces arrière et avant. Regardez à nouveau votre croquis et repérez la face avant : l'un des côtés est la largeur (l) et l'autre est la hauteur (h). L'aire de cette face est donc : largeur x hauteur = lh . De même, l'aire de la face arrière est : lh .
- Reprenons notre exemple concret : l = 3 cm et h = 5 cm. L'aire de la face avant est donc de : 3 cm x 5 cm = 15 centimètres carrés , tout comme l'aire de la face arrière est de 15 centimètres carrés .
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Trouvez la surface des faces de droite et de gauche. Ces deux faces sont absolument identiques. Regardez à nouveau votre croquis et repérez la face de droite : l'un des côtés est la longueur (L) et l'autre est la hauteur (h). L'aire de cette face est donc : longueur x hauteur = Lh . La face de gauche a la même aire, Lh .
- Dans notre exemple, L = 4 cm et h = 5 cm, si bien que l'aire de la face gauche est de : 4 cm x 5 cm = 20 centimètres carrés . La face de droite a la même aire, soit 20 centimètres carrés .
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Additionnez les six surfaces. Maintenant que vous avez les surfaces de chacune des faces, il suffit de les additionner pour obtenir la surface totale : Ll + Ll + Lh + Lh + lh + lh . Vous pouvez retenir cette formule un peu longue certes, mais vous parviendrez toujours au bon résultat.
- Dans notre exemple, on additionne donc tous les nombres en bleu, soit : 12 + 12 + 15 + 15 + 20 + 20 = 94 centimètres carrés .
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Simplifiez la formule. D'ores et déjà, vous savez calculer l'aire d'un parallélépipède rectangle. Sachez que vous pouvez simplifier la formule en utilisant quelques principes simples d'algèbre . Reprenons la formule trouvée précédemment : aire d'un parallélépipède rectangle = Ll + Ll + Lh + Lh + lh + lh. Certains termes étant identiques, regroupez-les ainsi :
- aire du parallélépipède rectangle = 2Ll + 2Lh + 2lh .
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Mettez le chiffre « 2 » en facteur. Si vous avez appris à factoriser , vous savez déjà qu'on peut simplifier la formule comme suit :
- aire du parallélépipède rectangle = 2Ll + 2Lh + 2lh = 2(Ll + Lh + lh) .
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Voyons si la formule fonctionne. Reprenons notre exemple de la boite de 4 cm de long, de 3 cm de large et de 5 cm de haut. Remplaçons les lettres de la formule par leurs valeurs respectives :
- aire de la boite = 2(Ll + Lh + lh) = 2 x (Ll + Lh + lh) = 2 x (4x3 + 3x5 + 4x5) = 2 x (12 + 15 + 20) = 2 x (47) = 94 centimètres carrés. Fort heureusement, on trouve le même résultat ! De deux formules, cette dernière est la plus facile à utiliser, non ?
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Conseils
- Toute surface s'exprime en « unités carrées », comme des centimètres carrés ou des mètres carrés [3] X Source de recherche . Un centimètre carré est exactement ce que son appellation laisse supposer : la surface d'un carré d'un centimètre de côté. Dès lors, si un parallélépipède fait 50 centimètres carrés de surface, cela signifie que cette dernière est composée de 50 petits carrés d'un centimètre carré.
- À la place de « largeur », certains utilisent le terme de « profondeur ». Peu importe l'appellation, le tout étant de ne pas se tromper dans les dimensions.
- À bien y regarder, les appellations, longueur, largeur, hauteur, dépendent de la façon dont est posé le parallélépipède. Tout côté peut être la hauteur. Ce qui importe quand on calcule l'aire d'un tel objet, c'est de ne pas changer son orientation durant les calculs [4] X Source de recherche .
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Références
- ↑ http://www.math.com/tables/geometry/surfareas.htm
- ↑ http://education.seattlepi.com/surface-area-rectangular-prism-fifth-graders-5826.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/measurement/area-basics/v/introduction-to-area-and-unit-squares
- ↑ http://thinkmath.edc.org/resource/measurement-length-width-height-depth
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