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En matemáticas, la factorización es el acto de buscar los números o expresiones que al multiplicarse den como resultado un número o una ecuación determinada. Es muy útil aprender a factorizar para resolver problemas básicos de álgebra. Es casi imprescindible obtener esta destreza cuando se trata de resolver ecuaciones cuadráticas y otras formas de polinomios. Puede utilizarse para simplificar expresiones algebraicas y resolverlas fácilmente. Además, puedes utilizarla para eliminar posibles respuestas mucho más rápido que al resolver el problema manualmente.
Pasos
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Comprende la definición de factorizar cuando se aplica a números individuales. La factorización es conceptualmente sencilla, pero, en la práctica, puede llegar a constituir un reto cuando se aplica a ecuaciones complejas. Debido a esto, es más fácil enfocarse en el concepto de factorización comenzando con números individuales; luego, continúa con ecuaciones simples y, por último, procede con aplicaciones más avanzadas. Los factores de un número determinado son los números que al multiplicarse dan como resultado dicho número. Por ejemplo, los factores de “12” son “1”, “12”, “2”, “6”, “3” y “4”, porque “1 × 12”, “2 × 6”, y “3 × 4” son iguales a “12”.
- Otra forma de abordar esto es que los factores de un número determinado son los números entre los que se puede dividir .
- Intenta encontrar todos los factores del número “60”. Utilizamos el número “60” para una amplia variedad de propósitos (los minutos en una hora, los segundos en un minuto, etc.) porque se puede dividir entre una gama bastante amplia de números.
- Los factores de “60” son “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”, “10”, “12”, “15”, “20”, “30”, y “60”.
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Comprende que también se pueden factorizar las expresiones variables. Así como se puede factorizar números individuales, se puede hacer lo mismo con las variables con coeficientes numéricos. Solo necesitas encontrar los factores del coeficiente de la variable. Es muy útil aprender este método para simplificar las ecuaciones algebraicas de las que son parte las variables.
- Por ejemplo, la variable “12x” puede escribirse como un producto de los factores de “12” y “x”. Podemos escribir “12x” como “3(4x)”, “2(6x)”, etc., utilizando cualquiera de los factores de “12” que sean los más adecuados para nuestros propósitos.
- Incluso, podemos factorizar “12x” varias veces . En otras palabras, no tenemos que limitarnos a colocar “3(4x)” o “2(6x)”. Podemos factorizar “4x” y “6x” para obtener “3(2(2x)” y “2(3(2x)”, respectivamente. Obviamente, ambas expresiones son iguales.
- Por ejemplo, la variable “12x” puede escribirse como un producto de los factores de “12” y “x”. Podemos escribir “12x” como “3(4x)”, “2(6x)”, etc., utilizando cualquiera de los factores de “12” que sean los más adecuados para nuestros propósitos.
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Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación para factorizar ecuaciones algebraicas. Utiliza tus conocimientos sobre cómo factorizar dos números simples y variables con coeficientes. Simplifica ecuaciones algebraicas simples buscando factores que los números y las variables dentro de la ecuación tengan en común. Por lo general, para simplificar la ecuación tanto como sea posible, tratamos de buscar el máximo factor común . Este proceso de simplificación es posible debido a la propiedad distributiva de la multiplicación, que establece que para cualquier número “a”, “b”, y “c”, “a (b + c) = ab + ac” .
- Vamos a utilizar un ejemplo: para factorizar la ecuación algebraica “12 x + 6”, en primer lugar, vamos a tratar de encontrar el máximo factor común de “12x” y “6”. El mayor número que divide uniformemente tanto “12x” como “6” es el “6”, por lo que podemos simplificar la ecuación a “6(2x + 1)”.
- Este proceso también se puede aplicar a ecuaciones con negativos y fracciones. Por ejemplo, “x/2 + 4”, se puede simplificar a “1/2(x + 8), y -7x + -21”, y se puede factorizar como “-7 (x + 3)”.
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Asegúrate de que la ecuación se encuentre en forma cuadrática: (ax 2 + bx + c = 0). Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma "ax 2 + bx + c = 0", donde “a”, “b”, y “c” son constantes numéricas y “a” no es igual a 0 (ten en cuenta que “a” puede ser igual a “1” o “-1”). Si tienes una ecuación que contiene una variable (x) que tiene uno o más términos de “x” elevados a la segunda potencia, por lo general, puedes cambiar los términos en la ecuación utilizando operaciones algebraicas básicas para obtener “0” en un lado del signo igual y "ax 2 ", etc. en el otro lado.
- Por ejemplo, consideremos la siguiente ecuación algebraica: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Se puede simplificar a "x 2 + 6x + 9 = 0", que se encuentra en forma cuadrática.
- Las ecuaciones con potencias mayores de “x”, como "x 3 ", "x 4 ", etc., no pueden considerarse ecuaciones cuadráticas. Estas son ecuaciones cúbicas, cuárticas, etc., a menos que la ecuación se pueda simplificar para eliminar estos términos de “x” por encima de la segunda potencia.
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En ecuaciones cuadráticas, donde “a = 1”, factoriza como “(x+d) (x + e)”, donde "d × e = c" y "d + e = b". Si tu ecuación cuadrática se encuentra en la forma "x 2 + bx + c = 0" ((en otras palabras, si el coeficiente del término "x 2 " = "1"), es posible (pero no garantizado) que se pueda utilizar un atajo relativamente sencillo para factorizar la ecuación. Busca dos números que al multiplicarse arrojen el valor de “c” y al sumarse arrojen el valor de “b”. Una vez que encuentres estos dos números “d” y “e”, colócalos en la siguiente expresión: (x+d) (x+e) . Estos dos términos, al multiplicarse, producirán tu ecuación cuadrática (en otras palabras, son sus factores).
- Por ejemplo, consideremos la siguiente ecuación cuadrática: x 2 + 5x + 6 = 0. Multiplica “3” y “2” para obtener “6” y súmalos para obtener “5”. Ahora, podemos simplificar esta ecuación a: (x + 3) (x + 2).
- Existen variaciones leves en este método rápido que generan pequeñas variaciones en la propia ecuación:
- Si la ecuación cuadrática se encuentra en la forma: x 2 -bx+c, tu respuesta se expresa en esta forma: (x - _)(x - _).
- Si se encuentra en la forma: x 2 +bx+c, tu respuesta debe expresarse de la siguiente manera: (x + _)(x + _).
- Si se encuentra en la forma: x 2 -bx-c, tu respuesta se expresa en esta forma: (x + _)(x - _).
- Nota: los números en los espacios en blanco pueden ser fracciones o decimales. Por ejemplo, la ecuación "x 2 + (21/2)x + 5 = 0" se puede factorizar como "(x + 10)(x + 1/2)".
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Si es posible, utiliza la factorización por inspección. Lo creas o no, para resolver ecuaciones cuadráticas sencillas, uno de los medios aceptados de factorización es simplemente examinar el problema. Luego, solo debes tener en cuenta las posibles respuestas hasta encontrar la correcta. Esto también se conoce como factorización por inspección. Si la ecuación se encuentra en la forma: ax 2 +bx+c and a>1, tu respuesta factorizada estará en la forma: (dx +/- _)(ex +/- _), donde “d” y “e” son constantes numéricas distintas de cero y se multiplican para obtener el valor de “a”. Tanto “d” como “e” (o ambos) puede ser el número “1”, aunque esto no siempre es así. Si ambos son “1”, en esencia, has utilizado el atajo descrito líneas arriba.
- Vamos a utilizar el siguiente ejemplo: 3x 2 - 8x + 4. En un primer momento, este problema puede parecer intimidante. Sin embargo, una vez que nos damos cuenta de que “3” solo tiene dos factores (“3” y “1”), se hace más sencillo, porque sabemos que nuestra respuesta debe tener la siguiente forma: (3x +/- _)(x +/- _). En este caso, colocar un “-2” en ambos espacios en blanco nos da la respuesta correcta: "-2 × 3x = -6x" y "-2 × x = -2x". “-6x” y “-2x” suman “-8x”, y "-2 × -2 = 4"”. Ahora, observamos que los términos factorizados entre paréntesis se multiplican para convertirse en la ecuación original.
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Resuelve el problema completando el cuadrado. En algunos casos, las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar de forma rápida y fácil mediante el uso de una identidad algebraica especial. Cualquier ecuación cuadrática expresada en la forma: x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2 . Si en la ecuación, el valor de “b” es el doble de la raíz cuadrada del valor de “c”, tu ecuación se puede factorizar como: (x + (sqrt(c))) 2 .
- Por ejemplo, la ecuación "x 2 " + "6x" + "9" se ajusta a esta forma. "3 2 " es "9" y "3 × 2" es "6". Por lo tanto, sabemos que la forma factorizada de esta ecuación es "(x + 3)(x + 3)" o "(x + 3) 2 ".
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Utiliza los factores para resolver ecuaciones cuadráticas. Independientemente de la forma en la que factorices tu expresión cuadrática, una vez factorizada, puedes encontrar posibles respuestas para el valor de “x” igualando cada factor a cero. Dado que estás buscando los valores de “x” que hacen que la ecuación se iguale a cero, un valor de “x” que hace que cualesquiera de tus factores se iguale a cero es una posible respuesta para tu ecuación cuadrática.
- Volvamos a la ecuación: x 2 + 5x + 6 = 0. Esta ecuación se factoriza como: (x + 3) (x + 2) = 0. Si alguno de los factores es igual a “0”, toda la ecuación es igual a “0”. Por lo que, nuestras posibles respuestas para “x” son los números que hacen que “(x + 3)” y “(x + 2)” sea igual a 0. Estos números son “-3” y “-2”, respectivamente.
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Verifica tus respuestas, ya que alguna de ellas puede ser extraña. Una vez que hayas encontrado tus posibles respuestas para “x”, colócalas en tu ecuación original para verificar si son válidas. Algunas veces, las respuestas obtenidas no hacen que la ecuación original sea igual a cero. Este tipo de soluciones son extrañas y se puede prescindir de ellas.
- Vamos a colocar “-2” y “-3” en: x 2
+ 5x + 6 = 0. Comencemos con “-2”:
- (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Es correcto, por lo que “-2” es una respuesta válida.
- Ahora, intentemos con “-3”:
- (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Es correcto, por lo que “-3” también es una respuesta válida.
Anuncio - Vamos a colocar “-2” y “-3” en: x 2
+ 5x + 6 = 0. Comencemos con “-2”:
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Si la ecuación se encuentra en la forma "a 2 -b 2 ", factorízala como "(a+b)(a-b)". Las ecuaciones con dos variables se factorizan de forma diferente a las cuadráticas básicas. Para cualquier ecuación "a 2 -b 2 " donde “a” y “b” no son iguales a “0”, la ecuación se factoriza como: (a+b)(a-b).
- Por ejemplo, la siguiente ecuación: 9x 2 - 4y 2 = (3x + 2y)(3x - 2y).
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Si la ecuación se encuentra en la forma "a 2 +2ab+b 2 ", factorízala como "(a+b) 2 ". Ten en cuenta que, si el trinomio se encuentra en la forma: a 2 - 2ab+b 2 , la forma factorizada es ligeramente diferente: (a-b) 2 .
- La ecuación "4x 2 + 8xy + 4y 2 " puede ser volverse a expresar como: 4x 2 + (2 × 2 × 2)xy + 4y 2 . Ahora, podemos observar que se encuentra en la forma correcta, por lo que podemos decir con confianza que nuestra ecuación se factoriza como: (2x + 2y) 2
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Si la ecuación se encuentra en la forma "a 3 -b 3 ", factorízala como "(a-b)(a 2 +ab+b 2 )". Por último, vale la pena mencionar que se pueden factorizar ecuaciones cúbicas e incluso de orden superior, aunque el proceso se vuelve monumentalmente complicado.
- Por ejemplo: 8x 3 - 27y 3 , se factoriza como: (2x - 3y)(4x 2 + ((2x)(3y)) + 9y 2 )
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Consejos
- Se puede factorizar "a 2 -b 2 "”; pero, no es el caso para "a 2 +b 2 ".
- Puede serte muy útil recordar cómo factorizar constantes.
- En el proceso de factorización, ten cuidado al trabajar con fracciones.
- Si tienes un trinomio en la forma: x 2 +bx+ (b/2) 2 , la forma factorizada es "(x+(b/2)) 2 ". Es posible que te topes con esta situación al completar el cuadrado.
- Recuerda que “a0 = 0” (propiedad de producto cero).
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Cosas que necesitarás
- papel
- lápiz
- un libro de matemáticas (si es necesario)
Acerca de este wikiHow
Resumen del artículo
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Para factorizar ecuaciones algebraicas, empieza por encontrar el máximo factor común de los números de la ecuación. Luego divide cada número entre el máximo factor común y reescribe la ecuación de modo que tengas por un lado ese valor y por otro la ecuación simplificada entre paréntesis. Cuando la ecuación no se pueda seguir simplificando, ¡habrás terminado!
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