Das Distributivgesetz zum Lösen von Gleichungen verwenden

unter Mitarbeit von Joseph Meyer

Das Distributivgesetz umfasst eine Reihe von Regeln der Mathematik, mit denen man eine Gleichung mit Klammern vereinfachen kann. Man lernt schon früh, dass man die Rechnungen in Klammern zuerst ausführt, bei algebraischen Ausdrücken ist das aber nicht immer möglich. Das Distributivgesetz ermöglicht es dir, den Term außerhalb der Klammern mit den Termen darin zu multiplizieren. Du musst sichergehen, dass du es richtig machst, damit keine Informationen verloren gehen und du die Gleichung richtig löst. Du kannst das Distributivgesetz außerdem einsetzen, um Gleichungen mit Brüchen zu vereinfachen.

Methode 1

Methode 1 von 4:

Das einfache Distributivgesetz anwenden

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1
Multipliziere den Term außerhalb der Klammern mit jedem Term in der Klammer. Dadurch verteilst du im Grunde den äußeren Term auf die inneren Terme. Multipliziere diesen Term mit dem ersten Term in der Klammer. Danach multiplizierst du ihn mit dem zweiten Term. Wenn es mehr als zwei Terme gibt, verteile ihn weiter, bis keine Terme übrig sind. Belasse die jeweilige Operation (Plus oder Minus) in der Klammer gleich. ^{[1]
X
Forschungsquelle}
- $2(x-3)=10$
- $2(x)-(2)(3)=10$
- $2x-6=10$
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2
Rechne ähnliche Terme zusammen. Bevor du die Gleichung lösen kannst, musst du ähnliche Terme zusammennehmen. Verbinde die einzelnen Variablen getrennt voneinander. Um eine Gleichung zu vereinfachen, ordnest du sie so an, dass die Variablen auf einer Seite des Gleichheitszeichens liegen und die Konstanten (nur Zahlen) auf der anderen Seite. ^{[2]
X
Forschungsquelle}
- $2x-6=10$ …..(ursprüngliche Aufgabe)
- $2x-6(+6)=10(+6)$ ….. (Addiere 6 auf beiden Seiten)
- $2x=16$ ….. (Variable links; Konstante rechts)
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3
Löse die Gleichung. Löse nach $x$ , indem du beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten vor der Variable dividierst. ^{[3]
X
Forschungsquelle}
- $2x=16$ …..(ursprüngliche Aufgabe)
- $2x/2=16/2$ …..(teile beide Seiten durch 2)
- $x=8$ …..(Lösung)
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Methode 2

Methode 2 von 4:

Negative Koeffizienten verteilen

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1
Teile eine negative Zahl zusammen mit ihrem Minuszeichen auf. Wenn du eine negative Zahl mit dem Term oder den Termen in der Klammer multiplizierst, achte darauf, das negative Zeichen auf jeden Term in der Klammer zu verteilen. ^{[4]
X
Forschungsquelle}
- Merke dir die Grundregeln beim Multiplizieren negativer Zahlen:
  - Neg. x Neg. = Pos.
  - Neg. x Pos. = Neg.
- Betrachte folgendes Beispiel:
  - $-4(9-3x)=48$ ….. (ursprüngliche Aufgabe)
  - $-4(9)-(-4)(3x)=48$ …..(verteile (-4) auf jeden Term)
  - $-36-(-12x)=48$ …..(vereinfache die Gleichung)
  - $-36+12x=48$ …..(beachte, dass aus 'Minus -12’ ein +12 wird)
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2
Rechne ähnliche Terme zusammen. Nachdem du die Aufteilung abgeschlossen hast, musst du die Gleichung vereinfachen, indem du alle Terme mit Variablen auf eine Seite des Gleichheitszeichen verschiebst und alle Zahlen ohne Variablen auf die andere bringst. Mache das durch eine Kombination von Addition und Subtraktion. ^{[5]
X
Forschungsquelle}
- $-36+12x=48$ …..(ursprüngliche Aufgabe)
- $-36(+36)+12x=48+36$ …..(addiere 36 auf beiden Seiten)
- $12x=84$ …..(vereinfache die Gleichung, um die Variable zu isolieren)
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3
Dividiere, um die endgültige Lösung zu finden. Löse die Gleichung auf, indem du beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten der Variable dividierst. Danach sollte eine einzige Variable auf der einen Seite der Gleichung und das Ergebnis auf der anderen Seite stehen. ^{[6]
X
Forschungsquelle}
- $12x=84$ …..(ursprüngliche Aufgabe)
- $12x/12=84/12$ …..(dividiere beide Seiten durch 12)
- $x=7$ …..(Lösung)
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4
Betrachte eine Subtraktion als eine Addition von (-1). Immer, wenn du ein Minuszeichen in einer Algebra-Aufgabe siehst, besonders wenn es vor einer Klammer steht, solltest du dir vorstellen, dass dort + (-1) steht. Das wird dir helfen, das Minuszeichen an allen Termen in der Klammer anzuwenden. Löse dann die Aufgabe wie gewohnt. ^{[7]
X
Forschungsquelle}
- Betrachte zum Beispiel die Aufgabe $4x-(x+2)=4$ . Um sicherzugehen, dass du das Minuszeichen richtig zuordnest, schreibe die Aufgabe so um:
  - $4x+(-1)(x+2)=4$
- Verteile dann die (-1) wie folgt auf die Terme in der Klammer:
  - $4x+(-1)(x+2)=4$ …..(überarbeitete Aufgabe)
  - $4x-x-2=4$ …..(multipliziere (-1) mit x und mit 2)
  - $3x-2=4$ …..(verbinde Terme)
  - $3x-2+2=4+2$ …..(addiere 2 auf beiden Seiten)
  - $3x=6$ …..(vereinfache Terme)
  - $3x/3=6/3$ …..(dividiere beide Seiten durch 3)
  - $x=2$ …..(Lösung)
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Methode 3

Methode 3 von 4:

Das Distributivgesetz zum Vereinfachen von Brüchen anwenden

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1
Erkenne Koeffizienten oder Konstanten unter den Brüchen. In manchen Aufgaben könnte es Brüche als Koeffizienten oder als Konstanten geben. Du kannst sie so lassen, wie sie sind und die Grundregeln der Algebra einsetzen, um die Aufgabe zu lösen. Das Distributivgesetz einzusetzen kann die Lösung aber häufig vereinfachen, indem Brüche in ganze Zahlen umgewandelt werden. ^{[8]
X
Forschungsquelle}
- Betrachte das Beispiel $x-3={\frac {x}{3}}+{\frac {1}{6}}$ . Die Brüche in dieser Aufgabe sind ${\frac {x}{3}}$ und ${\frac {1}{6}}$ .
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Bei diesem Schritt kannst du alle ganzen Zahlen ignorieren. Sieh dir nur die Brüche an und finde das kgV aller Nenner. Um das kgV zu finden , suchst du die kleinste Zahl, die ohne Rest durch die Nenner der Brüche in der Gleichung geteilt werden kann. In diesem Beispiel sind die Nenner 3 und 6, das kgV ist also 6. ^{[9]
X
Forschungsquelle}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a4\/Use-Distributive-Property-to-Solve-an-Equation-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Use-Distributive-Property-to-Solve-an-Equation-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a4\/Use-Distributive-Property-to-Solve-an-Equation-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Use-Distributive-Property-to-Solve-an-Equation-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":334,"bigWidth":728,"bigHeight":529,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Multipliziere die Terme der Gleichung mit dem kgV. Denke daran, dass du jede Operation in einer Algebra-Gleichung einsetzen kannst, solange du sie auf gleiche Weise auf beiden Seiten ausführst. Multipliziere alle Terme in der Gleichung mit dem kgV und die Brüche werden „aufgelöst“ und zu ganzen Zahlen. Setze Klammern rund um die ganze linke und rechte Seite der Gleichung und führe dann die Verteilung durch: ^{[10]
X
Forschungsquelle}
- $x-3={\frac {x}{3}}+{\frac {1}{6}}$ …..(ursprüngliche Gleichung)
- $(x-3)=({\frac {x}{3}}+{\frac {1}{6}})$ …..(Klammern einsetzen)
- $6(x-3)=6({\frac {x}{3}}+{\frac {1}{6}})$ …..(beide Seiten mit dem kgV multiplizieren)
- $6x-6(3)=6({\frac {x}{3}})+6({\frac {1}{6}})$ …..(die Multiplikation aufteilen)
- $6x-18=2x+1$ …..(die Multiplikation vereinfachen)
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4
Rechne ähnliche Terme zusammen. Verbinde alle Terme so, dass alle Variablen auf einer Seite der Gleichung stehen und alle Konstanten auf der anderen. Wende einfache Operationen mit Addition und Subtraktion an, um Terme von einer Seite auf die andere zu verschieben. ^{[11]
X
Forschungsquelle}
- $6x-18=2x+1$ …..(vereinfachte Aufgabe)
- $6x-2x-18=2x-2x+1$ …..(2x von beiden Seiten subtrahieren)
- $4x-18=1$ …..(die Subtraktion ausführen)
- $4x-18+18=1+18$ …..(18 auf beiden Seiten auflösen)
- $4x=19$ …..(durch Addition vereinfachen)
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5
Löse die Gleichung. Finde die endgültige Lösung, indem du beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten der Variable dividierst. Dadurch sollte ein einziger Term mit x auf einer Seite der Gleichung und die numerische Lösung auf der anderen Seite stehen. ^{[12]
X
Forschungsquelle}
- $4x=19$ …..(überarbeitete Aufgabe)
- $4x/4=19/4$ …..(dividiere beide Seiten durch 4)
- $x={\frac {19}{4}}{\text{ or }}4{\frac {3}{4}}$ …..(endgültige Lösung)
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Methode 4

Methode 4 von 4:

Einen langen Bruch aufteilen

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1
Interpretiere einen langen Bruch als verteilte Division. Du könntest manchmal eine Aufgabe vor dir haben, in der im Zähler eines Bruches mehrere Terme über einem einzigen Nenner stehen. Das kannst du als Distributivaufgabe betrachten und den Nenner auf jeden Term im Zähler anwenden. Den Bruch kannst du folgendermaßen umschreiben, um diese Verteilung zu zeigen:
- ${\frac {4x+8}{2}}=4$ .....(ursprüngliche Aufgabe)
- ${\frac {4x}{2}}+{\frac {8}{2}}=4$ .....(verteile den Nenner auf jeden Term im Zähler)
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2
Vereinfache jeden Zähler als einzelnen Bruch. Nachdem du den Zähler auf jeden Term aufgeteilt hast, kannst du die Terme einzeln vereinfachen.
- ${\frac {4x}{2}}+{\frac {8}{2}}=4$ .....(überarbeitete Aufgabe)
- $2x+4=4$ .....(vereinfache die Brüche)
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3
Isoliere die Variable. Löse die Aufgabe weiter, indem du die Variable auf einer Seite der Gleichung isolierst und die konstanten Terme auf die andere Seite bringst. Das machst du mit einer Kombination aus Additionen und Subtraktionen, nach Bedarf.
- $2x+4=4$ .....(überarbeitete Aufgabe)
- $2x+4-4=4-4$ .....(4 von beiden Seiten subtrahieren)
- $2x=0$ .....(das x auf einer Seite isolieren)
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4
Dividiere durch den Koeffizienten, um die Aufgabe zu lösen. Als letzten Schritt teilst du durch den Koeffizienten der Variable. Somit solltest du die endgültige Lösung erhalten, mit der alleine stehenden Variable auf der einen Seite der Gleichung und der numerischen Lösung auf der anderen.
- $2x=0$ .....(überarbeitete Aufgabe)
- $2x/2=0/2$ .....(teile beide Seiten durch 2)
- $x=0$ .....(Lösung)
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5
Tappe nicht in die Falle, nur einen Term zu dividieren. Man kann in Versuchung kommen (es ist aber falsch), den ersten Term des Zählers durch den Nenner zu dividieren und den Bruch so zu streichen. Ein solcher Fehler würde für die oben genannte Aufgabe so aussehen:
- ${\frac {4x+8}{2}}=4$ .....(ursprüngliche Aufgabe)
- $2x+8=4$ .....(nur 4x durch 2 teilen statt den ganzen Zähler)
- $2x+8-8=4-8$
- $2x=-4$
- $x=-2$ ..... (falsche Lösung)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/86\/Use-Distributive-Property-to-Solve-an-Equation-Step-18.jpg\/v4-460px-Use-Distributive-Property-to-Solve-an-Equation-Step-18.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/86\/Use-Distributive-Property-to-Solve-an-Equation-Step-18.jpg\/v4-728px-Use-Distributive-Property-to-Solve-an-Equation-Step-18.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":334,"bigWidth":728,"bigHeight":529,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Prüfe die Richtigkeit deines Ergebnisses. Du kannst deine Arbeit immer überprüfen, indem du dein Ergebnis in die ursprüngliche Aufgabe einsetzt. Wenn du sie vereinfachst, sollte eine wahre Aussage herauskommen. Wenn du sie vereinfachst und eine fehlerhafte Aussage erhältst, war dein Ergebnis falsch. Überprüfe bei dieser Aufgabe die Lösungen x=0 und x=-2, um zu wissen, welche richtig ist.
- Beginne mit der Lösung x=0:
  - ${\frac {4x+8}{2}}=4$ .....(ursprüngliche Aufgabe)
  - ${\frac {4(0)+8}{2}}=4$ .....(setze 0 für x ein)
  - ${\frac {0+8}{2}}=4$
  - ${\frac {8}{2}}=4$
  - $4=4$ .....(Wahre Aussage. Diese Lösung ist richtig.)
- Probiere es mit der "falschen" Lösung x=-2:
  - ${\frac {4x+8}{2}}=4$ .....(ursprüngliche Aufgabe)
  - ${\frac {4(-2)+8}{2}}=4$ .....(setze -2 für x ein)
  - ${\frac {-8+8}{2}}=4$
  - ${\frac {0}{2}}=4$
  - $0=4$ .....(Fehlerhafte Aussage. Folglich ist x=-2 falsch.)
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Tipps

Du kannst das Distributivgesetz auch anwenden, um Multiplikationsaufgaben zu vereinfachen. Du kannst Zahlen in Zehner und den Rest sozusagen "aufspalten", um das Kopfrechnen leichter zu machen. 8x16 zum Beispiel kannst du als 8(10+6) betrachten. Das ist dann einfach 80+48=128. Ein weiteres Beispiel ist 7*24=7(20+4)=7(20)+7(4)=140+28=168. Übe solche Aufgaben in deinem Kopf und das Kopfrechnen wird zu einer einfachen Sache.

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Das Distributivgesetz zum Lösen von Gleichungen verwenden

Vorgehensweise

Das einfache Distributivgesetz anwenden

Negative Koeffizienten verteilen

Das Distributivgesetz zum Vereinfachen von Brüchen anwenden

Einen langen Bruch aufteilen

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