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Comment calculer la capacité d'un réservoir

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Il existe des centaines de milliers de réservoirs en France, certains sont enterrés, d'autres, posés au sol, certains sont cylindriques, d'autres parallélépipédiques, certains contiennent de l'eau, d'autres du gaz liquide… Et l'éternelle question avec ces cuves et autres citernes est de savoir quel est leur niveau de remplissage pour refaire le plein. Certes aujourd'hui, il y a des jauges, mais pour le plaisir de l'esprit, nous allons voir comment on peut calculer le niveau de remplissage d'un réservoir.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer la capacité d'un réservoir cylindrique horizontal

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1
Mesurez le rayon du réservoir. Ces réservoirs (ou citernes) sont fréquents pour alimenter les chaudières des maisons. Un réservoir cylindrique a pour base un cercle, et pour connaitre le volume total d'un tel réservoir, vous devez connaitre l'aire de ce cercle, laquelle ne peut se calculer sans connaitre le rayon. Par définition, le rayon est cette distance qui sépare tout point du cercle du centre de ce dernier. Pour la mesure, vous alignez le 0 de votre ruban mesureur sur la périphérie du réservoir et regardez la valeur au niveau du centre du cercle.
- Le rayon n'est pas facile à mesurer. Il vaut mieux mesurer le diamètre ( $D$ ) qui est la distance qui part d'un point d'un cercle et qui rejoint un autre point du cercle en passant par le centre. Sa valeur est égale à deux fois le rayon ( $r$ ), ce qui fait que : $r={\frac {D}{2}}$ .
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À partir du rayon, il est très facile de calculer l'aire $A$ d'un cercle avec la formule : $A=\pi r^{2}$ , $\pi$ étant la constante bien connue ayant comme valeur arrondie 3,14. Ces deux disques des extrémités sont en fait les parois verticales du réservoir.
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Vous pouvez maintenant déterminer le volume total du réservoir en multipliant l'aire de la face verticale par la longueur $L$ du cylindre. La formule du volume $V_{t}$ d'une citerne est la suivante : $V_{t}=\pi r^{2}L$ .
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Sur l'illustration, il est appelé $D$ (ligne pointillée). En mathématiques, cette ligne est une « corde » qui, si ses extrémités sont reliées au centre du cercle, constitue avec l'arc de cercle du haut un secteur angulaire d'angle $\theta$ , comme sur le schéma. Pour le faire apparaitre, tracez deux segments qui partent des extrémités de la corde et rejoignent le centre du cercle. Bien évidemment, l'angle change en fonction du niveau de remplissage.
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Il existe une formule toute prête pour calculer l'aire $A_{s}$ d'un secteur angulaire : $A_{s}={\frac {\pi \theta r^{2}}{360}}$ , $\theta$ devant être en degrés.
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Deux de ses côtés sont le rayon, et sa hauteur $m$ (figure 4) est la différence entre le rayon et la distance entre le niveau de remplissage et le haut du cercle. Dès lors, l'aire $A_{t}$ de ce triangle est donnée par la formule : $A_{t}=mr\ sin({\frac {\theta }{2}})$ .
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Cela correspond à la partie vide du réservoir. Pour calculer l'aire de la paroi correspondante ( $A_{v}$ ), il faut ôter l'aire du triangle de celle du secteur angulaire, soit
$A_{v}=A_{s}-A_{t}$ .
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Cet angle est donné par la formule : $\theta =2arccos({\frac {m}{r}})$ , $m$ étant la hauteur du liquide au-dessus de la moitié de la citerne, soit le rayon moins la hauteur de la partie vide du réservoir.
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9
Déterminez le volume restant ( $V_{restant}$ ). Il n'y a plus qu'à grouper tous les éléments dans la formule : $V_{restant}=V_{t}-V_{v}$ . Nous n'avons établi que des formules d'aires, si bien que : $V_{restant}=L(A_{t}-A_{v})$ , $L$ étant la longueur du réservoir : il n'y a plus que les calculs à faire !
- Si le réservoir est plus qu'à moitié rempli, utilisez la formule qui vient d'être établie au-dessus : elle est valable tant que la hauteur de vide est inférieure au rayon.
- Si le réservoir est plus qu'à moitié vide, utilisez la formule $V_{restant}=LA_{v}$ , mais vous remplacerez lors de vos calculs $m$ par $m_{1}=D-h$ , $D$ étant le diamètre de la citerne et $h$ la hauteur de vide dans le réservoir.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Calculer la capacité d'un réservoir cylindrique vertical

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1
Mesurez le rayon ( $r$ ) du cercle à la base du cylindre. Dans un cercle, le rayon est cette distance qui sépare un point quelconque du cercle de son centre. Pour votre réservoir, placez-vous au niveau de sa base (ou de son sommet) circulaire l'obtenir, puis mesurez la distance du pourtour au centre de la partie circulaire.
- Il est souvent plus facile, pour trouver le rayon, de mesurer le diamètre d'un cercle que son rayon. En effet, le diamètre est cette distance qui sépare deux points opposés d'un cercle en passant par le centre. Une fois ce diamètre obtenu, vous le divisez par 2 et vous avez votre rayon.
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Une fois le rayon connu ou déterminé, il ne reste plus qu'à calculer l'aire $A_{b}$ de la face circulaire du réservoir, avec la formule suivante : $A_{b}=\pi r^{2}$ , $r$ est donc le rayon de la base du réservoir et $\pi$ la constante bien connue, dont une des valeurs approchées est 3,14159.
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Calculez le volume total ( $V_{tot}$ ) du cylindre. Pour cela, vous devez multiplier l'aire de la base circulaire par la hauteur $h$ du cylindre. La formule complète pour trouver le volume est : $V_{tot}=A_{b}h$ .
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Déterminez le volume restant ( $V_{restant}$ ). Le volume restant d'un réservoir se calcule de la même façon que celui du réservoir dans son entier. Mesurez la hauteur du vide, soustrayez-la de la hauteur totale du réservoir, vous obtenez le niveau du liquide restant (appelé $n$ ). Le volume restant est donc égal à :
$V_{restant}=A_{b}n=\pi r^{2}n$ .

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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Calculer la capacité d'un réservoir rectangulaire

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Pour déterminer le volume d'un réservoir rectangulaire, multipliez sa longueur par sa largeur et par sa hauteur :
$V=L\times l\times h$ . La longueur est la plus grande dimension horizontale de votre réservoir, l'autre est la largeur. Quant à la hauteur, elle est la dimension verticale du réservoir. Si les parois du réservoir sont épaisses, enlevez cette épaisseur de vos trois mesures.
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Le volume restant d'un réservoir se calcule de la même façon que celui du réservoir dans son entier. Mesurez la hauteur du vide, soustrayez-la de la hauteur totale du réservoir, vous obtenez le niveau du liquide restant (appelé $n$ ). Le volume restant est donc égal à :
$V_{restant}=L\times l\times n$ .

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Conseils

Des calculatrices en ligne vous permettront de déterminer ces types de volumes, pour peu que vous connaissiez rayon, hauteur, largeur et longueur : essayez celle-ci !
Souvenez-vous du fait que ces calculs ne sont qu'une approximation. Ils présupposent une géométrie parfaite de votre réservoir, ce qui n'est jamais totalement vrai.

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