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Un système d'équations est un jeu de deux équations ou plus qui contiennent chacune les mêmes inconnues et par conséquent qui possèdent une solution commune. Pour les équations linéaires, graphiquement représentées par des lignes droites, la solution du système est souvent le point d'intersection des droites. Les matrices sont des outils utiles pour réécrire et résoudre des systèmes linéaires.
Étapes
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Apprenez la terminologie. Les équations linéaires ont des composantes distinctes. La variable est le symbole (en général la lettre x ou y) qui représente un nombre que vous ne connaissez pas encore. La constante est un nombre qui reste égal à lui-même. Le coefficient est le nombre qui précède la variable, il permet de multiplier cette dernière.
- Par exemple, dans l'équation linéaire 2x + 4y = 8, x et y sont les variables. La constante est 8. Les nombres 2 et 4 sont les coefficients.
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Apprenez à reconnaitre un système d'équations. Un système d'équations avec deux variables peut s'écrire de la façon suivante : ax + by = p et cx + dy = q. Les constantes (p, q) ne peuvent pas être égales à zéro, sauf si l'une des équations comprend une seule des variables (x, y).
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Comprenez ce qu'est une équation matricielle. Lorsque vous avez un système linéaire, vous pouvez utiliser une matrice pour la réécrire, puis utiliser les propriétés algébriques de la matrice pour la résoudre. Pour réécrire un système linéaire, vous pouvez utiliser A pour représenter les coefficients de la matrice, C pour représenter la matrice des constantes et X pour représenter la matrice inconnue.
- Le système linéaire ci-dessus, par exemple, peut être réécrit sous la forme d'une équation matricielle : A x X = C.
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Comprenez ce que sont les matrices augmentées. Une matrice augmentée est une matrice obtenue en annexant les colonnes de deux matrices. Si vous avez deux matrices A et C, vous pouvez créer une matrice augmentée en les mettant toutes les deux ensembles. La matrice augmentée ressemblera à l'image ci-dessus.
- Regardez par exemple le système linéaire suivant :
2x + 4y = 8
x + y = 2
La matrice 2x3 qui en résulte ressemblera à l'image ci-dessus.
Publicité - Regardez par exemple le système linéaire suivant :
Méthode 2
Méthode 2 sur 2:
Transformer la matrice augmentée pour résoudre le système
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Comprenez les opérations élémentaires. Vous pouvez appliquer certaines opérations à une matrice afin de la transformer, tout en faisant en sorte qu'elle reste équivalente à l'original. Ce sont les opérations élémentaires. Pour résoudre une matrice 2x3, par exemple, vous devez utiliser des opérations élémentaires sur chaque ligne pour obtenir une matrice triangulaire. Voici les opérations élémentaires.
- Permutation de deux lignes.
- Multiplication d'une ligne par un nombre non nul.
- Multiplication d'une ligne, puis addition d'une autre.
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Multipliez la deuxième ligne par un nombre non nul. Vous devez faire apparaitre un zéro dans votre seconde ligne, donc faites une multiplication qui permette cela.
- Prenons l'exemple d'une matrice qui ressemble à l'image ci-dessus. Vous pouvez garder la première ligne et l'utiliser pour obtenir un zéro dans la seconde ligne. Pour cela, multipliez d'abord la seconde ligne par deux.
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Multipliez encore. En vue d'annuler la première ligne, vous pourriez avoir besoin de multiplier à nouveau en appliquant le même principe.
- Dans l'exemple ci-dessus, multipliez la seconde ligne par -1, comme suit. Lorsque vous avez terminé la multiplication, votre nouvelle matrice ressemble à cela.
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Ajoutez la première ligne et la deuxième ligne. Ensuite, ajoutez les première et deuxième lignes pour obtenir zéro dans la première colonne de la deuxième ligne.
- Dans l'exemple ci-dessus, ajoutez les deux lignes ensemble.
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Écrivez le nouveau système linéaire pour la matrice triangulaire. Maintenant, vous avez une matrice triangulaire. Vous pouvez utiliser cette matrice pour obtenir un nouveau système linéaire. La première colonne correspond à l'inconnue x et la seconde colonne correspond à l'inconnue y. La troisième colonne correspond au membre libre de l'équation.
- Concernant l'exemple ci-dessus, voici comment votre nouveau système deviendrait...
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Résolvez le système pour trouver l'une des variables. Utilisez votre nouveau système pour déterminer quelle variable peut être facilement déterminée et résolvez-le.
- Dans les exemples ci-dessus, vous devrez revenir vers l'arrière, revenir de la dernière équation à la première en résolvant les inconnues. La seconde équation vous donne une solution facile pour trouver y : comme le x a été enlevé, vous pouvez en déduire que y = 2.
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Substituez afin de trouver la seconde variable. Lorsque vous avez déterminé l'une des variables, vous pouvez substituer sa valeur dans l'autre équation pour trouver l'autre variable.
- Dans l'exemple ci-dessus, remplacez-l’y par 2 dans la première équation, afin de trouver x.
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Conseils
- Les éléments des matrices sont appelés les « scalaires ».
- Souvenez-vous que pour résoudre une matrice 2x3, vous devez vous en tenir aux opérations élémentaires sur les lignes. Vous ne pouvez pas faire d'opérations sur les colonnes.
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Références
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