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La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles, et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente. Les valeurs des nombres trigonométriques les plus courants peuvent être trouvées et présentées sous forme d'une table de lignes trigonométriques ou par la méthode SOHCAHTOA.
Choses à savoir
- Dessinez un tableau trigonométrique avec 6 lignes et colonnes. Chaque ligne va déterminer le sinus, le cosinus, la tangente, la sécante, la cosécante et la tangente de 0, 30, 45, 60 et 90°.
- Numérotez les colonnes de votre tableau de 0 à 4 en commençant par 0°. Ensuite, entrez le numéro de chaque colonne dans √x/2 afin de calculer les valeurs de sinus. Par exemple, en colonne 1 (0°) = √0/2 = 0.
- Inversez les valeurs du sinus dans le tableau afin de calculer les valeurs du cosinus. Par exemple, comme la colonne 0° de la rangée des sinus = 0, la dernière colonne 90° de la rangée des cosinus = 0.
- Pour calculer la tangente, divisez vos valeurs de sinus par les valeurs de cosinus.
Étapes
| Angles (en degrés) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin𝛳 | 0 | √2/2 | √3/2 | 1 | |
| cos𝛳 | 1 | √3/2 | √2/2 | 0 | |
| tan𝛳 | 0 | √3/3 | 1 | √3 | Non défini |
| cosec𝛳 | Non défini | 2 | √2 | 2√3/3 | 1 |
| sec𝛳 | 1 | 2√3/3 | √2 | 2 | Non défini |
| cotan𝛳 | Non défini | √3 | 1 | √3/3 | 0 |
| Angles (en degrés) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin𝛳 | 0 | 0.5 | 0.707 | 0.866 | 1 |
| cos𝛳 | 1 | 0.866 | 0.707 | 0.5 | 0 |
| tan𝛳 | 0 | 0.577 | 1 | 1.732 | Non défini |
| cosec𝛳 | Non défini | 2 | 1.414 | 1.155 | 1 |
| sec𝛳 | 1 | 1.155 | 1.414 | 2 | Non défini |
| cotan𝛳 | Non défini | 1.732 | 1 | 0.577 | 0 |
-
Tracez une table de lignes trigonométriques. Tracez un tableau de 6 lignes et 6 colonnes. La première colonne, à partir de la deuxième ligne, accueillera les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente). Sur la première ligne, à partir de la deuxième colonne, vous indiquerez les angles principaux (0°, 30°, 45°, 60°, 90°). Les autres cases du tableau sont pour l'instant vierges [1] X Source de recherche .
- Le sinus, le cosinus et la tangente sont les trois fonctions trigonométriques les plus utilisées. Sachez cependant qu'il en existe d'autres, comme la cosécante, la sécante et la cotangente.
-
Numérotez les colonnes du tableau. Allez par ordre croissant, en commençant par 0. Lorsque vous avez créé vos 6 lignes et colonnes, donnez à chaque colonne un numéro compris entre 0 et 4. Le numéro de la colonne 0° doit être 0, celui de la colonne 30° doit être 1, celui de la colonne 45° doit être 2, celui de la colonne 60° doit être 3 et celui de la colonne 90° doit être 4 [2] X Source de recherche .
-
Remplissez à présent la colonne des sinus. La formule de calcul du sinus est la suivante : , étant compris entre 0 et 4. C'est grâce à elle que vous allez pouvoir remplir la première ligne. Pour que cette formule marche, il faut absolument que les angles soient les suivants : 0°, 30°, 45°, 60° et 90°. Les valeurs des sinus sont obtenues en remplaçant par 0, 1, 2, 3 et 4.
- La première cellule du tableau (celle du sinus de l'angle 0°) est affectée de la valeur que l'on met dans la formule , ce qui donne . Le sinus de 0° est 0.
- Calculez les autres sinus en employant la même formule, mais en augmentant chaque fois
d'une unité. Les sinus suivants sont donc :
( car ), ( la racine carrée de 1 étant 1, ), ( car multipliée par 1 sous la forme donne :
), et ( car ). Pour se résumer, les valeurs de gauche à droite sont : et [3] X Source de recherche - Une fois la colonne des sinus complétée, il est beaucoup plus simple de remplir les autres colonnes, étant donné que les autres fonctions sont liées les unes aux autres.
-
Remplissez la colonne des cosinus. Nul besoin de calculs pour cela : prenez les valeurs des sinus, mais disposez-les en sens inverse. En effet, : donc le sinus de 30° est le cosinus de 60°, le cosinus de 0° est le sinus de 90°, etc., le tout est que la somme des deux angles fasse toujours 90°. C'est pourquoi il est possible de remplir les cellules de cette deuxième ligne aussi facilement [4] X Source de recherche .
- Dans notre tableau, la valeur du sinus de 90°, c'est-à-dire 1, est aussi la valeur du cosinus de l'angle complémentaire (0°). Le remplissage de la deuxième ligne suit ce même principe.
- Pour vérification, dans la colonne des cosinus vous devez avoir :
et .
-
Divisez le sinus par le cosinus pour avoir la tangente. La formule de la tangente est donc : . Avec le tableau, le calcul est pratique, car les valeurs sont dans l'ordre vertical : divisez la première rangée par la seconde [5] X Source de recherche .
- Si l'on prend la colonne des 30°,
, soit
. - Les valeurs de la colonne des tangentes sont dans l'ordre : et non définie pour 90°. La tangente de 90° est en effet non définie, car sa valeur est égale à , soit , ce qui est absolument impossible.
- Si l'on prend la colonne des 30°,
, soit
-
Remplissez la colonne des cosécantes. La cosécante étant l'inverse du sinus (c'est facile à démontrer), le remplissage de la colonne des cosécantes s'effectue en inversant les valeurs des sinus, sans changer l'ordre des colonnes. Faites attention à ne pas vous tromper de ligne de référence [6] X Source de recherche .
- Contrairement à d'autres lignes du tableau que l'on peut remplir par simple manipulation du contenu des cellules, cette ligne des cosécantes ne peut être remplie qu'avec des calculs.
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Remplissez à présent la colonne des sécantes. La sécante est l'inverse du cosinus. Colonne pour colonne, prenez la valeur du cosinus, puis son inverse et inscrivez ce résultat sur la ligne des sécantes. On retrouve là, pour la sécante de 90°, le problème de la division par 0, qui donne une valeur non définie [7] X Source de recherche .
- Vous devez retenir que l'inverse du cosinus d'un angle est la sécante de ce même angle. C'est à retenir aussi en sens inverse.
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Remplissez la colonne des cotangentes. Prenez les valeurs de la colonne des tangentes et inscrivez-les à l'envers dans la colonne des cotangentes. La valeur de la tangente de 90° sera celle de la cotangente de 0°, la valeur de la tangente de 60° est celle de la cotangente de 30°…, c'est simple : tout est inversé ! La somme des deux angles impliqués doit être égal à 90° [8] X Source de recherche .
- Ce remplissage rapide s'explique facilement, car la cotangente d'un angle est tout simplement l'inverse de la tangente de ce même angle.
- La cotangente d'un angle s'obtient également en divisant son cosinus par son sinus.
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Tracez un triangle rectangle. Pour mieux comprendre ces notions de nombres trigonométriques, rien ne vaut une figure. Tracez une ligne horizontale, puis une autre dont l'angle avec la première forme, à gauche, l'angle voulu. Tracez une dernière ligne qui va partir de la ligne oblique pour rejoindre la ligne horizontale et la couper à angle droit : vous venez de tracer un triangle rectangle [9] X Source de recherche .
- Il va de soi qu'à l'école vous n'aborderez ces notions de sinus, de cosinus et de tangente que lorsque vous connaitrez toutes les propriétés de base du triangle rectangle, à commencer par son dessin.
- Le triangle rectangle est un élément clé de la mémorisation de la trigonométrie à angle droit, et de la trigonométrie en général.
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Calculez le sinus, le cosinus ou la tangente. Pour cela, nous allons utiliser les mesures des côtés du triangle. Ceux-ci sont identifiés à partir de leur position par rapport à l'angle. Ainsi, le côté situé en face de l'angle concerné est appelé le côté opposé , celui qui forme l'angle et forme aussi l'angle droit est le côté adjacent et le dernier, celui opposé à l'angle droit, est l' hypoténuse . Le sinus, le cosinus et la tangente sont tous trois des rapports entre certains de ces côtés [10] X Source de recherche .
- Le sinus d'un angle s'obtient en divisant le côté opposé par l'hypoténuse.
- Le cosinus d'un angle s'obtient en divisant le côté adjacent par l'hypoténuse.
- Enfin, la tangente d'un angle s'obtient en divisant le côté opposé par le côté adjacent.
- Admettons que l'on vous demande, dans un exercice, de calculer le sinus de 35° (dans un triangle rectangle). Sa valeur s'obtient en divisant la mesure du côté opposé à cet angle par celle de l'hypoténuse. Si la longueur du côté opposé est de 2,8 cm et l'hypoténuse de 4,9 cm, alors le sinus de l'angle sera égal à , soit 0,57. Ce résultat n'a pas d'unité, puisqu'il y a annulation des unités.
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Utilisez un moyen mnémotechnique pour retenir les formules. L'acronyme le plus souvent retenu est SOHCAHTOA, à savoir : S inus = O pposé sur H ypoténuse, C osinus = A djacent sur H ypoténuse, T angente = O pposé sur A djacent. Ce mot bizarre n'est pas spécialement facile à retenir, mais à ce jour, il n'en existe pas d'autre [11] X Source de recherche . Dans votre tête, vous pouvez énoncer SOHCAHTOA ainsi : « SO hache, CA hache, TO ha ».
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Pensez aux fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Quand vous aurez retenu les formules du sinus, du cosinus et de la tangente dans un triangle rectangle, vous n’aurez aucun mal à retenir celles de la cosécante, de la sécante et de la cotangente : elles sont les inverses [12] X Source de recherche .
- Admettons que vous deviez calculer la cosécante d'un angle de 35°, sans calculatrice, en sachant que la longueur du côté opposé est de 2,8 cm et l'hypoténuse de 4,9 cm. Pour obtenir la valeur de la cosécante, vous devez faire l'opération suivante : .
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Conseils
- Pour la réponse définitive, éliminez les racines en dénominateur. Admettons que vous ayez trouvé que . Certes, c'est la bonne réponse, mais vous devez la présenter avec un entier comme dénominateur. À cet effet, vous multiplierez le numérateur et le dénominateur par le dénominateur irrationnel. Ici, multipliez par , ce facteur étant égal à 1, il laisse la fraction inchangée. Le calcul est alors le suivant : , soit .
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Avertissements
- Étant donné que la division par 0 n'est pas possible, , , et sont non définis. Vous écrirez soit « non défini » soit .
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Références
- ↑ https://youtu.be/1I7Jp62sGXM?t=6
- ↑ https://youtu.be/hTGhCGrPLmw?t=35
- ↑ https://youtu.be/1I7Jp62sGXM?t=120
- ↑ https://www2.clarku.edu/faculty/djoyce/trig/compute.html
- ↑ http://www.mathwords.com/t/trig_identities.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/t/trig_identities.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/t/trig_identities.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/t/trig_identities.htm
- ↑ https://www.intmath.com/trigonometric-functions/2-sin-cos-tan-csc-sec-cot.php
À propos de ce wikiHow
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