Загрузить PDF
Загрузить PDF
В алгебре трехчлен — это многочлен, содержащий три члена и имеющий вид ax 2 + bx + c. Трехчлены можно разложить на множители несколькими способами в зависимости от вида самого трехчлена. Многочлены высших степеней с членами x 3 или x 4 не всегда можно разложить при помощи описанных методов, но их можно упростить или использовать замену, чтобы преобразовать их и решить как обычное квадратное уравнение.
Шаги
-
Научитесь перемножать члены двух двучленов . Для этого перемножьте первые члены, затем перемножьте первый член (первого двучлена) и второй член (второго двучлена), затем перемножьте второй член (первого двучлена) и первый член (второго двучлена), а затем перемножьте вторые члены. Например, рассмотрим произведение двух двучленов (х + 2) (х + 4).
- Перемножение первых членов: ( x +2)( x +4) = x 2 + __
- Перемножение первого члена (первого двучлена) и второго члена (второго двучлена): ( x +2)(x+ 4 ) = x 2 + 4x + __
- Перемножение второго члена (первого двучлена) и первого члена (второго двучлена): (x+ 2 )( x +4) = x 2 +4x+ 2x + __
- Перемножение вторых членов: (x+ 2 )(x+ 4 ) = x 2 +4x+2x+ 8
- Упрощение: x 2 + 4x+2x +8 = x 2 + 6x +8
-
Разложение на множители. При перемножении двух двучленов вы получаете трехчлен вида a x 2 + b x+ c , где a, b, c — постоянные коэффициенты (то есть числа). Поэтому можно проделать и обратную операцию — разложить трехчлен на произведение двух двучленов.
- Если трехчлен дан в другом виде, переставьте его члены в нужном порядке. Например, перепишите 3x - 10 + x 2 в виде x 2 + 3x - 10 .
- Так как в этом трехчлене наивысший показатель степени равен 2 (x 2 ), то такой трехчлен называется квадратным.
-
Запишите данный вам трехчлен, поставьте знак равенства, а затем напишите ответ в виде (__ __)(__ __) . Вы заполните пробелы по мере разложения трехчлена на множители.
- Между пробелами не пишите «+» или «-», так как правильные знаки будут определены в процессе разложения трехчлена на множители.
-
Заполните первые пробелы в обеих скобках. В простых трехчленах, в которых первый член — это x 2 , первыми членами в обоих двучленах будут x и x , так как x * x = x 2 .
- В нашем примере x 2 + 3x - 10 первый член — это x 2 , поэтому напишите:
- (x __)(x __)
- Более сложные трехчлены будут рассмотрены в следующем разделе (например, трехчлены, у которых первый член это 6x 2 или -x 2 ).
-
Если вы вернетесь к первому шагу этого раздела, то увидите, что в результате перемножения вторых членов двучленов получается свободный член трехчлена (член без переменной «х»). Таким образом, необходимо найти два числа, которые при перемножении дадут свободный член.
- В нашем примере x 2 + 3x - 10 свободный член равен -10.
- Какие два числа при перемножении дают -10?
- Вот такие: -1 * 10; 1 * -10; -2 * 5; 2 * -5.
- Пока не меняйте ответ. Он по-прежнему выглядит так: (x __)(x __) .
-
Заполните вторые пробелы в обеих скобках. В предыдущем шаге вы получили пары множителей (свободного члена). Подставьте их в ответ и проверьте, соответствуют ли они второму члену данного вам трехчлена.
- В нашем примере x 2 + 3x - 10 второй член равен 3х.
- Подставьте -1 и 10: (х-1) (х+10) = x 2 + 9x - 10. 9х≠3х. Не подходит.
- Подставьте 1 и -10: (х+1) (х-10) = x 2 - 9x - 10. -9х≠3х. Не подходит.
- Подставьте -2 и 5: (х-2) (х+5) = x 2 + 3x - 10. 3х=3х. Подходит. Таким образом, правильный ответ: (х-2)(х+5).
- В простых случаях, когда у переменной x 2 нет коэффициента, вы можете сделать так: просто сложите два множителя (которые при перемножении дают свободный член) и к результату припишите «х». В нашем примере: (-2 + 5)х = 3x. Это не сработает при разложении сложных трехчленов, поэтому запомните детальный метод, изложенный выше.
Реклама
-
Упростите сложный трехчлен до простого (если возможно). Например, рассмотрим сложный трехчлен 3x 2 + 9x - 30 . Определите, можно ли вынести за скобки общий множитель (который равен наибольшему общему делителю каждого члена трехчлена). [1] X Источник информации В нашем примере за скобку можно вынести 3:
- 3x 2 = (3)(x 2 )
- 9x = (3)(3x)
- -30 = (3)(-10)
- Таким образом, 3x 2 + 9x - 30 = (3)(x 2 +3x-10). Вы можете разложить полученный простой трехчлен так, как описано в предыдущем разделе. Вы получите: (3)(х-2)(х+5).
-
Более сложное упрощение. Возможно, за скобки нужно вынести множитель с переменной или проделать процесс вынесения множителя за скобки несколько раз, чтобы получить простой трехчлен. Вот несколько примеров:
- 2x 2 y + 14xy + 24y = (2y) (x 2 + 7x + 12)
- x 4 + 11x 3 - 26x 2 = (x 2 ) (x 2 + 11x - 26)
- -x 2 + 6x - 9 = (-1) (x 2 - 6x + 9)
- Не забудьте разложить на множители полученные простые трехчлены при помощи метода, описанного в предыдущем разделе. Ответы и дополнительные задачи вы найдете в конце этой статьи.
-
Разложение трехчленов, у которых при x 2 есть коэффициент. Некоторые сложные квадратные трехчлены нельзя упростить до простых трехчленов. Например, разложите 3x 2 + 10x + 8.
- Ответ запишите в виде: (__ __)(__ __)
- Заполните первые пробелы в обеих скобках. Так как 3х * х = 3x 2 , то промежуточный ответ запишите в виде: (3x __)(x __) .
- Напишите пары множителей свободного члена 8: 1 * 8; 2 * 4.
- Заполните вторые пробелы в обеих скобках. Подставьте в ответ пары множителей свободного члена и проверьте, соответствуют ли они второму члену (10х) данного вам трехчлена. Внимание: здесь порядок сомножителей имеет значение, так как первый член первого двучлена равен 3х, а не просто «х».
- (3x+1)(x+8) = 3x 2 +25х+8; 25x≠10х; не подходит.
- (3x+8)(x+1) = 3x 2 +11х+8; 11x≠10х; не подходит.
- (3x+2)(x+4) = 3x 2 +14х+8; 14x≠10х; не подходит.
- (3x+4)(x+2) = 3x 2 +10х+8; 10x=10х; подходит.
-
Используйте замену для разложения многочленов высших степеней, например, с членом, равным x 4 . Используйте замену, чтобы привести такой многочлен к простому многочлену. [2] X Источник информации Например:
- x 5 +13x 3 +36x
- =(x)(x 4 +13x 2 +36)
- Введите новую переменную. Например, y = x 2 ; подставьте эту переменную в данный трехчлен:
- (x)(y 2 +13y+36)
- =(x)(y+9)(y+4). Теперь вернитесь к исходной переменной:
- =(x)(x 2 +9)(x 2 +4)
- = (x)(x±3)(x±2)
Реклама
-
Простые числа. Проверьте, является ли коэффициент в первом и/или третьем члене простым числом. Простое число — это число, делящееся только на 1 или само себя, то есть у такого числа только одна пара множителей.
- Например, в трехчлене x 2 + 6x + 5 свободный член 5 — это простое число, поэтому произведение двучленов можно записать в виде (__ 5) (__ 1).
- В трехчлене 3x 2 +10x+8 коэффициент в первом члене 3 является простым числом, поэтому произведение двучленов можно записать в виде (3x __)(x __).
- В трехчлене 3x 2 +4x+1 оба коэффициента 3 и 1 являются простыми числами, поэтому единственно правильным решением является произведение двучленов (3x+1)(x+1). Необходимо перемножить эти двучлены, чтобы проверить ответ, так как некоторые трехчлены вообще нельзя разложить на множители (например, трехчлен 3x 2 +100x+1 на множители не разлагается).
-
Проверьте, является ли трехчлен полным квадратом. Трехчлен, являющийся полным квадратом, можно разложить на произведение двух одинаковых двучленов, например, (х+1)(х+1) = (x+1) 2 . Вот несколько наиболее распространенных трехчленов, являющихся полными квадратами:
- x 2 +2x+1=(x+1) 2 , и x 2 -2x+1=(x-1) 2
- x 2 +4x+4=(x+2) 2 , и x 2 -4x+4=(x-2) 2
- x 2 +6x+9=(x+3) 2 , и x 2 -6x+9=(x-3) 2
- В трехчлене вида a x 2 + b x + c и который является полным квадратом коэффициенты a и c всегда являются полными квадратами (например, 1, 4, 9, 16, 25), а коэффициент b (положительный или отрицательный) всегда равен 2(√a * √c). [3] X Источник информации
-
Проверьте, существует ли решение. Не все трехчлены можно разложить на множители. Если вам дан квадратный трехчлен вида ax 2 +bx+c, используйте формулу для решения квадратного уравнения, чтобы определить, можно ли разложить на множители этот трехчлен. Если в результате решения вы получите квадратный корень из отрицательного числа, то трехчлен разложить на множители нельзя.
- Для трехчленов, отличных от квадратных, используйте критерий Эйзенштейна, описанный в разделе «Советы».
Реклама
Ответы и дополнительные задачи
- Здесь представлены ответы на задачи из раздела «Разложение сложных трехчленов». Вы уже упростили трехчлены, поэтому разложите их при помощи метода, описанного в первой главе, а потом полученный ответ сравните со следующим ответами:
- (2y)(x 2 + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
- (x 2 )(x 2 + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
- (-1)(x 2 - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3) 2
- Попробуйте решить следующие задачи. Здесь в каждом трехчлене можно вынести за скобки общий множитель. Выделите пустое пространство после знаков равенства, чтобы посмотреть правильные ответы:
- 3x 3 +3x 2 -6x = (3x)(x+2)(x-1)
- -5x 3 y 2 +30x 2 y 2 -25y 2 x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)
- Попробуйте решить следующие задачи. Здесь трехчлены не упрощаются, поэтому найдите решения в виде (_x + __)(_x + __). Выделите пустое пространство после знаков равенства, чтобы посмотреть правильные ответы:
- 2x 2 +3x-5 = (2x+5)(x-1)
- 9x 2 +6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1) 2 (Подсказка: работайте с несколькими парами множителей 9x.)
Советы
- Если выяснить, как разложить на множители квадратный трехчлен (ax 2 +bx+c), нельзя, используйте формулу для решения квадратного уравнения, чтобы найти «х».
- Используйте критерий Эйзенштейна для определения невозможности разложения трехчлена на множители. Этот критерий применим для многочленов любого порядка, но лучше всего работает с трехчленами. Если существует простое число p, которое нацело делит коэффициенты двух последних членов и которое отвечает следующим условиям, то многочлен разложить нельзя.
- Свободный член (с) делится на р, но не на p 2 .
- Коэффициент первого члена (а) не делится на p.
- Например, многочлен 14x 2 + 45x + 51 разложить нельзя, так как простое число 3 делит 45 и 51, но не 14, а 51 не делится на 3 2 .
Реклама
Предупреждения
- Хотя это и верно для квадратных трехчленов, другие трехчлены не всегда разлагаются на произведение двух двучленов. Например: x 4 + 105x + 46 = (x 2 + 5x + 2)(x 2 - 5x + 23).
Реклама
Источники
- ↑ http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut28_facttri.htm
- ↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/ate13/highpolylesson.htm
- ↑ http://www.themathpage.com/alg/perfect-square-trinomial.htm
- http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut28_facttri.htm
- http://www.themathpage.com/alg/factoring-trinomials.htm
- http://www.algebrahelp.com/lessons/factoring/trinomial/
Реклама
