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Die Berechnung der Standardabweichung gibt Aufschluss darüber, wie verteilt die Werte in deinem Datensatz sind. [1] X Forschungsquelle Um dies für deine Stichprobe oder deinen Datensatz herauszufinden, musst du zunächst einige Berechnungen durchführen. Dies bedeutet, dass du zunächst den Mittelwert und die Varianz deiner Daten bestimmen musst, bevor du die Standardabweichung berechnen kannst . Die Varianz ist ein Maß dafür, wie stark deine Werte im Bereich des Mittelwerts angehäuft sind. [2] X Forschungsquelle Anschließend kannst du die Standardabweichung ermitteln, indem du die Quadratwurzel der berechneten Varianz deines Datensatzes berechnest. In diesem Artikel erfährst du, wie du Mittelwert, Varianz und Standardabweichung bestimmen kannst.
Vorgehensweise
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Betrachte deinen Datensatz. Das ist ein wichtiger Schritt bei jeder Art von statistischer Berechnung, selbst wenn es sich um einen einfachen Wert wie den Mittelwert oder Median handelt. [3] X Forschungsquelle
- Kenne die Menge an Zahlen in deinem Datensatz.
- Liegen die Zahlen weit auseinander oder ist der Unterschied zwischen ihnen sehr klein, z.B. nur einige Dezimalstellen?
- Kenne die Art von Daten, mit denen du arbeitest. Was repräsentieren die Zahlen in deinem Datensatz. Es könnte sich dabei zum Beispiel um Testergebnisse, Messungen der Herzfrequenz, Höhe, Gewicht, usw. handeln.
- Beispiel: Ein Datensatz mit Testergebnissen enthält die Werte 10, 8, 10, 8, 8 und 4.
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Sammle all deine Daten. Zur Berechnung des Mittelwerts benötigst du jeden Wert aus deinem Datensatz. [4] X Forschungsquelle
- Der Mittelwert ist der Durchschnitt all deiner Datenpunkte.
- Für die Berechnung addierst du alle Zahlen aus deinem Datensatz zusammen und teilst dein Ergebnis durch die Anzahl von Werten in deinem Datensatz (n).
- Der Datensatz mit den Testergebnissen (10, 8, 10, 8, 8, 4) enthält 6 Werte. Dementsprechend gilt: n = 6.
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Addiere die Zahlen aus deinem Datensatz zusammen. Das ist der erste Teil zur Berechnung des mathematischen Durchschnitts bzw. Mittelwerts. [5] X Forschungsquelle
- Wir verwenden wieder unseren Beispiel-Datensatz mit Testergebnissen: 10, 8, 10, 8, 8 und 4.
- 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48. Das ist die Summe aller deiner Zahlen aus dem Datensatz.
- Addiere die Zahlen ein weiteres Mal zusammen, um dein Ergebnis zu überprüfen.
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Teile die Summe durch die Anzahl Werte in deinem Datensatz (n). Dadurch erhältst du den Durchschnitt bzw. Mittelwert deines gegebenen Datensatzes. [6] X Forschungsquelle
- Im Datensatz mit Testergebnissen (10, 8, 10, 8, 8 und 4) befinden sich sechs Werte, also gilt: n = 6.
- Die Summe der Testergebnisse in unserem Beispiel war 48. Also teilst du 48 durch n und erhältst den Mittelwert.
- 48 / 6 = 8
- Das durchschnittliche Testergebnis in unserem Datensatz ist 8.
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Finde die Varianz heraus. Die Varianz drückt aus, wie stark die Werte in deinem Datensatz im Bereich um den Mittelwert angehäuft sind. [7] X Forschungsquelle
- Dieser Wert vermittelt dir einen Eindruck, wie weit deine Daten auseinanderliegen.
- Bei Datensätzen mit geringer Varianz sind die Werte sehr nah am Mittelwert gesammelt.
- Bei Datensätzen mit hoher Varianz liegt der Großteil der Werte weit weg vom Mittelwert.
- Die Varianz wird oftmals verwendet, um die Verteilung von Datensätzen zu vergleichen.
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Subtrahiere den Mittelwert von jeder Zahl aus deinem Datensatz. Dadurch erhältst du Werte, die Aufschluss darüber geben, wie weit jeder Datenpunkt vom Mittelwert entfernt liegt. [8] X Forschungsquelle
- In unserem Beispiel-Datensatz mit Testergebnissen (10, 8, 10, 8, 8 und 4) liegt der Mittelwert bzw. mathematische Durchschnitt bei 8.
- 10 - 8 = 2; 8 - 8 = 0, 10 - 8 = 2, 8 - 8 = 0, 8 - 8 = 0 und 4 - 8 = -4.
- Wiederhole die Rechnungen, um jedes Ergebnis zu überprüfen. Es ist sehr wichtig, dass jeder dieser Werte korrekt ist, da du sie für den nächsten Schritt benötigst.
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Setze alle im letzten Schritt berechneten Differenzen ins Quadrat. Du benötigst jeden dieser Werte zur Bestimmung der Varianz deines Datensatzes. [9] X Forschungsquelle
- Erinnere dich, wir haben in unserem Datensatz von jeder enthaltenen Zahl (10, 8, 10, 8, 8 und 4) den Mittelwert subtrahiert und die folgenden Werte erhalten: 2, 0, 2, 0, 0 und -4.
- Als nächsten Schritt setzt du die einzelnen Werte ins Quadrat, das sieht folgendermaßen aus: 2², 0², 2², 0², 0², (-4)² = 4, 0, 4, 0, 0, 16.
- Überprüfe deine Ergebnisse, bevor du mit dem nächsten Schritt fortfährst.
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Addiere die quadrierten Zahlen zusammen. Dieser Wert wird als Summe der Quadratzahlen bezeichnet. [10] X Forschungsquelle
- In unserem Beispiel hast du folgende Quadratzahlen erhalten: 4, 0, 4, 0, 0 und 16.
- Erinnere dich, wir haben in unserem Beispiel damit begonnen, den Mittelwert von jedem Testergebnis zu subtrahieren und anschließend die einzelnen Differenzen ins Quadrat gesetzt: (10-8)² + (8-8)² + (10-2)² + (8-8)² + (8-8)² + (4-8)²
- 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24.
- Die Summe der Quadratzahlen beträgt 24.
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Dividiere die Summe der Quadratzahlen durch (n-1). Erinnere dich, dass n für die Anzahl Werte in deinem Datensatz steht. Nach dieser Berechnung erhältst du die gesuchte Varianz. [11] X Forschungsquelle
- In unserem Datensatz mit Testergebnissen (10, 8, 10, 8, 8 und 4) befinden sich 6 Zahlen. Dementsprechend ist n = 6.
- n-1 = 5.
- Die Summe der Quadratzahlen für unsere Beispiel betrug 24.
- 24 / 5 = 4,8
- Die Varianz für unseren Datensatz ist folglich 4,8.
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Notiere deinen Varianzwert. Du benötigst diesen, um die Standardabweichung von deinem Datensatz bestimmen zu können. [12] X Forschungsquelle
- Erinnere dich, dass die Varianz angibt, wie stark verteilt deine Werte vom Mittelwert oder dem mathematischen Durchschnitt sind.
- Die Standardabweichung ist ein ähnlicher Wert, der allerdings angibt, wie weit die Daten aus deinem Datensatz auseinanderliegen.
- In unserem Beispiel-Datensatz mit Testergebnissen betrug der Wert für die Varianz 4,8.
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Bilde die Quadratwurzel der Varianz. Dieser Wert ist deine Standardabweichung. [13] X Forschungsquelle
- In Normalfall werden sich mindestens 68% der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert befinden.
- Erinnere dich, dass die Varianz für unseren Beispiel-Datensatz 4,8 betrug.
- √4.8 = 2,19. Die Standardabweichung für unseren Datensatz mit Testergebnissen ist dementsprechend 2,19.
- 5 von 6 (83%) Werte aus unserem Datensatz (10, 8, 10, 8, 8 und 4) liegen innerhalb von einer Standardabweichung (2,19) vom Mittelwert (8).
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Gehe noch einmal alle Rechenschritte zur Ermittlung von Mittelwert, Varianz und Standardabweichung durch. Dies gibt dir die Möglichkeit, dein Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen. [14] X Forschungsquelle
- Es ist wichtig, dass du dir alle Rechenschritte notierst, wenn du Berechnungen per Hand oder mit dem Taschenrechner durchführst.
- Falls du beim zweiten Mal ein anderes Ergebnis erhältst, überprüfe deine Arbeit noch einmal ganz genau.
- Falls du deinen Fehler nicht finden konntest, vergleiche deine Berechnungen ein drittes Mal.
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Referenzen
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
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- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
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