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Les équations contenant des puissances sont parfois un peu délicates à résoudre. En tout cas, elles requièrent de connaitre parfaitement les règles de résolution. Il vous sera peut-être un jour demandé de résoudre des équations avec des puissances un peu originales, en cela que l'inconnue sera en exposant. Si vous avez des puissances concernant une même base, le problème est facile à résoudre. Si les bases sont différentes, il vous faudra utiliser la fonction logarithme… et une calculatrice scientifique.
Étapes
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Vérifiez que les deux puissances ont bien la même base. La base d'une puissance est la valeur élevée à la puissance, elle est des deux valeurs celle qui est écrit en gros [1] X Source de recherche . Cette méthode ne peut être utilisée que s'il y a une égalité de puissances ayant toutes deux la même base, l'inconnue étant en exposant.
- L'équation comporte bien, comme le voyez, deux puissances ayant la même base, à savoir 6.
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Pour résoudre l'équation, ignorez la base. Les puissances étant égales et ayant la même base, c'est que leurs exposants sont égaux. C'est pourquoi vous pouvez en quelque sorte ignorer la base et inscrire l'égalité des exposants [2] X Source de recherche .
- Dans l'équation , les puissances étant égales et ayant la même base, vous pouvez poser l'équation suivante : .
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Résolvez l'équation. Dans un premier temps, isolez l'inconnue d'un côté. Pour rappel, toute opération faite sur un membre d'une équation doit être faite à l'identique sur l'autre membre.
- Ici, pour isoler
à gauche, vous allez soustraire 5 de chaque côté :
(solution).
- Ici, pour isoler
à gauche, vous allez soustraire 5 de chaque côté :
-
Vérifiez votre travail. La vérification consiste à prendre le résultat trouvé et à faire l'application numérique dans l'équation de départ, c'est-à-dire à remplacer l'inconnue par la solution trouvée. Après calculs, l'égalité doit être vérifiée. Si ce n'était pas le cas, vérifiez une seconde fois, et si vous tombez toujours sur une inégalité, reprenez vos calculs.
- Vous avez trouvé que :
. Dans l'équation de départ, remplacez
par -2 et faites les calculs :
.
Publicité - Vous avez trouvé que :
. Dans l'équation de départ, remplacez
par -2 et faites les calculs :
-
Isolez la puissance. Nous prendrons le cas d'une équation avec une puissance égale à une constante numérique (un entier, par exemple). Si ce n'est pas déjà le cas, isolez la puissance à gauche et les constantes à droite.
- Admettons que vous ayez à résoudre
. Gardez la puissance (
) à gauche et placez toutes les constantes à droite. Pour cela, ajoutez 2 de chaque côté de l'équation, ce qui donne :
.
- Admettons que vous ayez à résoudre
. Gardez la puissance (
) à gauche et placez toutes les constantes à droite. Pour cela, ajoutez 2 de chaque côté de l'équation, ce qui donne :
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Récrivez l'équation. L'objectif est de parvenir à une égalité de deux puissances ayant la même base. Il convient donc de transformer la constante en une puissance [3] X Source de recherche . Si vous n'y arrivez pas, alors cette méthode n'est pas applicable à votre cas.
- Reprenons notre équation . Il faut donc transformer 81 en une puissance de base 3 pour résoudre simplement l'équation. Par chance (mais c'était prévu !), 81 est la puissance quatrième de 3, puisque . L'équation devient alors : .
-
Mettez les exposants à égalité. La constante a pu être transformée en puissance, vous avez à présent deux puissances égales et de même base. Ignorez la base en question et mettez à égalité les exposants.
- Notre équation est à présent la suivante : . La base (3) étant identique, ignorez-la et inscrivez l'égalité des exposants : .
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Résolvez l'équation. Dans un premier temps, isolez l'inconnue d'un côté. Toute opération faite sur un membre d'une équation doit être faite à l'identique sur l'autre membre.
- Isolez l'inconnue en ajoutant 5 de chaque côté de l'équation :
(solution).
- Isolez l'inconnue en ajoutant 5 de chaque côté de l'équation :
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Vérifiez vos calculs. La vérification consiste à prendre le résultat trouvé et à faire l'application numérique dans l'équation de départ. Après calculs, l'égalité doit être vérifiée. Si ce n'était pas le cas, vérifiez une seconde fois, et si vous tombez toujours sur une inégalité, reprenez vos calculs.
- Vous avez trouvé que :
. Dans l'équation de départ, remplacez
par 9 et faites les calculs :
.
Publicité - Vous avez trouvé que :
. Dans l'équation de départ, remplacez
par 9 et faites les calculs :
Méthode 3
Méthode 3 sur 3:
Trouver une inconnue en exposant (bases différentes)
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Isolez la puissance dans le membre de gauche. Si ce n'est pas déjà le cas dans votre équation de départ, isolez la puissance à gauche et les constantes à droite, en gardant à l'esprit que toute opération sur un membre d'une équation doit être faite à l'identique sur l'autre membre.
- Prenons comme exemple l'équation
. Isolez
dans le membre de gauche en ajoutant de chaque côté 8 :
.
- Prenons comme exemple l'équation
. Isolez
dans le membre de gauche en ajoutant de chaque côté 8 :
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Modifiez l'équation. 17 ne peut pas se mettre sous la forme d'une puissance de 4, comme cela a été fait dans la méthode précédente. Il faut donc en passer par le logarithme décimal, ce dernier étant fonction réciproque de f(x)=10 x . Prenez le log de chacun des membres [4] X Source de recherche . Ce faisant, l'égalité reste parfaite, puisque la même opération a été faite sur les deux membres. Pour les calculs, utilisez une calculatrice scientifique.
- Partant de , modifiez l'équation, mais elle restera inchangée, en mettant à égalité leurs logs : .
-
Sortez l'exposant de la puissance. Il est une règle des logs qui veut que : . Utilisez cette règle pour donner à votre équation un air plus familier. Pour l'instant, il n'est pas question de calculer les logs.
- C'est ainsi que , conformément à la règle vue précédemment, peut s'écrire : .
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Isolez l'inconnue à gauche. Comme cela a été vu précédemment, il faut à présent isoler l'inconnue à gauche et les constantes à droite, ces dernières étant particulières dans la mesure où ce sont des logs, lesquels ne sont rien d'autre que des valeurs numériques. Divisez chaque membre par le log qui affecte l'inconnue. S'il y avait des constantes, vous les grouperiez toutes à droite et les calculeriez.
- Pour isoler
dans
, divisez des deux côtés par
, puis soustrayez de même 3, ce qui donne les calculs suivants :
.
- Pour isoler
dans
, divisez des deux côtés par
, puis soustrayez de même 3, ce qui donne les calculs suivants :
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Calculez la valeur de chacun des logs. C'est à ce stade qu'intervient la calculatrice scientifique, car c'est un calcul compliqué avec une table. Repérez la touche log . Tapez en premier la valeur dont vous cherchez le log, puis appuyez sur cette touche log . Calculez tous les logs et récrivez l'équation, sans vous tromper, avec ces résultats. Souvent, les logs doivent être arrondis.
- Pour calculer , entrez 25 et appuyez sur log : le résultat est 1,3979. Faites de même avec , tapez 4 , appuyez sur log et vous obtenez environ 0,602. Votre équation devient maintenant élémentaire : .
-
Faites les calculs. Le résultat final n'est pas très loin maintenant, il sera forcément approché, car nous avons arrondi les valeurs logarithmiques, ainsi que le résultat de la fraction. Commencez par calculer la fraction, puis les autres opérations. Si vous ne vous rappelez plus l'ordre des opérations, c'est-à-dire les priorités dans l'exécution des opérations arithmétiques, lisez en priorité cet article .
- Nous avons donc :
. Calculez la fraction, puis faites la soustraction, ce qui donne :
(solution).
Publicité - Nous avons donc :
. Calculez la fraction, puis faites la soustraction, ce qui donne :
Références
- ↑ https://lexique.netmath.ca/base-dune-puissance/
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=_Xz15I30kE0
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=_Xz15I30kE0
- ↑ https://fr.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/solving-exponential-equations-with-logarithms/a/solving-exponential-equations-with-logarithms
À propos de ce wikiHow
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