小数の指数を解く方法

共著者 : David Jia

指数の計算は高校の数学で詳しく習う内容の1つです。指数は整数が用いられていることが多いですが、分数になっていることもあります。少数が用いられている場合もゼロではありません。小数の指数を解く時は、まず、少数を分数に変換しなければなりません。次に、指数法則に基づいて計算を行っていきます。

パート 1

パート 1 の 3:

小数の指数を計算する

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小数を分数に変換する　小数から分数への変換には、けたの値が重要となります。分数の分母が、けたの値となります。また、小数点以下の桁が分子となります。
- 例えば、 $81^{0.75}$ という指数があるとしましょう。指数の $0.75$ を分数に変換する必要があります。小数点第2位（100分の1の位）まで続いているので、分数にすると ${\frac {75}{100}}$ となります。
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可能であれば約分する　指数を構成する分数の分母の数で平方根（あるいは累乗根）を後で取ることになるので、分母の数は小さければ小さいほど手間が省けます。分数を約分しましょう。分数が帯分数になっている（つまり指数の分数が1よりも大きな数だった）場合は、仮分数に直しましょう。
- 例えば、 ${\frac {75}{100}}$ であれば ${\frac {3}{4}}$ と約分することができるので、 $81^{0.75}=81^{\frac {3}{4}}$ となります。
3
指数をかけ算の式に書き直す　具体的には分子を整数に直して単位分数をかけます。単位分数とは、分母が同じで分子が1の分数を指します。
- 例えば、 ${\frac {3}{4}}={\frac {1}{4}}\times 3$ なので、 $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}$ と書き直すことができます。
4
「累乗の累乗」として書き直す　 2つの指数をかけるということは、累乗を累乗することです。つまり $x^{\frac {1}{b}}\times a$ とは $(x^{\frac {1}{b}})^{a}$ となります。 ^{[1]
X
出典文献}
- 例えば、 $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}$ となります。
5
基数を無理式として書き直す　有理指数を計算することとは、その数に適した累乗根を取るということを意味しているので、基数と1つ目の指数を無理式に書き直しましょう。
- 例えば、 $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}$ とすることができます。したがって、 $({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$ となります。 ^{[2]
  X
  出典文献}
6
無理式を計算する　根指数（累乗根の外についている小さな数字）は、何乗根を求める必要があるかを示しているという点を覚えておきましょう。数がややこしい場合は、科学計算用電卓の ${\sqrt[{x}]{y}}$ 機能を使うのが最も楽でしょう。
- 例えば、 ${\sqrt[{4}]{81}}$ を計算する場合は、4回かけることで81になる数字を探す必要があります。 $3\times 3\times 3\times 3=81$ なので、 ${\sqrt[{4}]{81}}=3$ となります。従って指数表記は $3^{3}$ となります。
7
残っている指数も計算する　これで、指数が整数になっているはずなので、これ以降の計算は分かりやすいでしょう。数が大きい時は計算機を用いましょう。
- 例えば、 $3^{3}=3\times 3\times 3=27$ なので、 $81^{0.75}=27$ となります。
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パート 2

パート 2 の 3:

練習問題を解く

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$256^{2.25}$
2
小数を分数に直す　 $0.25$ は1よりも大きいので帯分数になります。
- 小数点以下の $0.25$ は ${\frac {25}{100}}$ と表すことができるので、 $2.25=2{\frac {25}{100}}$ です。
3
可能であれば約分する　帯分数はさらに仮分数に直しましょう。
- ${\frac {25}{100}}$ は ${\frac {1}{4}}$ と約分することができるので、 $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$ となります。
- 仮分数に直すと、 ${\frac {9}{4}}$ となるので、 $256^{2.25}=256^{\frac {9}{4}}$ です。
${\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9$ であることから、 $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}$ と書き直すことができます。
つまり、 $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}$ ということになります。
$256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}$ であることから、 $({\sqrt[{4}]{256}})^{9}$ と表すことができます。
${\sqrt[{4}]{256}}=4$ なので、 $(4)^{9}$ となります。
$(4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262,144$ であることから、 $256^{2.25}=262,144$ です。

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パート 3

パート 3 の 3:

指数を理解する

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1
指数を見分けられるようになる　指数表記とは基数と指数で構成された表記です。基数とは大きく書かれている数字、指数とはその肩に小さく書かれている数字を指します。 ^{[3]
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出典文献}
- 例えば、 $3^{4}$ の場合、 $3$ が基数で $4$ が指数です。
2
指数表記の仕組みを理解する　基数は、実際にかけ算をすることになる数です。指数は、その基数が因数として何回用いられるかを表しています。 ^{[4]
X
出典文献}
- 例えば、 $3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$ となります。
3
有理指数を理解する　有理指数とは分数指数とも呼ばれています。つまり、分数で表された指数です。 ^{[5]
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出典文献}
- 例えば、 $4^{\frac {1}{2}}$ と表されます。
4
累乗根と有理指数の関係を理解する　何らかの数を ${\frac {1}{2}}$ 乗するということは、その数の累乗根を取るということを意味しています。つまり、 $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$ です。その他の累乗根と指数でも同じことが言えます。下記を参考に有理指数の分母と累乗根の関係を把握しましょう。 ^{[6]
X
出典文献}
- $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
- $x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}$
- $x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}$
- 例えば、 $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$ となります。 $3\times 3\times 3\times 3=81$ であることから、81の4乗根は3であることがわかります。
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累乗の累乗を理解する　指数法則によれば $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ です。つまり、累乗を累乗するということは2つの指数をかけ算することと同じです。 ^{[7]
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出典文献}
- ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$ であるため、有理指数を扱う際の指数法則は $x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$ となります。 ^{[8]
  X
  出典文献}
- 実際のところ、累乗根と指数のどちらを先に計算するかは問題ではありません。しかし、先に累乗根を取ると数字が小さくなるため、問題を解きやすくなることが多いでしょう。
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