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Comment calculer la surface totale d'une pyramide régulière

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Coécrit par Grace Imson, MA

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Vous pouvez calculer l’aire de la surface totale d’une pyramide en ajoutant celle de la base à celle des faces latérales. Il est possible de déterminer la surface d’une pyramide régulière assez simplement à l’aide d’une formule du moment que vous savez comment calculer l’aire de sa base. Étant donné que la base peut être n’importe quel polygone, il est utile de savoir calculer l’aire de toutes sortes de formes, comme des pentagones ou des hexagones. Si vous avez une pyramide régulière à base carrée, il est encore plus simple de déterminer l’aire totale de sa surface du moment que vous connaissez la longueur du côté du carré et la hauteur de la pente.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Calculer la surface totale d’une pyramide régulière

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1
Écrivez la formule. La formule mathématique pour calculer l’aire de la surface totale d’une pyramide régulière est $A={\frac {ph}{2}}+b$ , $A$ étant l’aire totale, $p$ le périmètre de la base, $h$ la hauteur de la pente et $b$ l’aire de la base ^{[1]
X
Source de recherche} .
- La formule de base permettant de calculer l’aire totale de n’importe quelle pyramide, régulière ou non, est $A=b+l$ , $A$ étant la surface totale, $b$ l’aire de la base et $l$ la somme des aires des triangles latéraux ^{[2]
  X
  Source de recherche} .
- Ne confondez pas la hauteur de la pente avec celle de la pyramide. La hauteur de la pente dans une pyramide régulière est la distance entre le sommet du solide et le milieu d’un des côtés de la base ^{[3]
  X
  Source de recherche} . La hauteur de la pyramide est la distance entre son sommet et le centre de sa base sur un axe perpendiculaire à la base.
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2
Inscrivez le périmètre de la base. Dans la formule, remplacez $p$ par le périmètre de la base de la pyramide régulière. Si vous ne le connaissez pas, mais que vous connaissez la longueur d’un côté de la base, vous pouvez calculer son périmètre en multipliant la valeur donnée par le nombre de côtés du polygone.
- Par exemple, si vous devez calculer l’aire totale d’une pyramide régulière à base hexagonale dont vous savez qu’un côté mesure 4 cm, multipliez 4 par 6 pour trouver le périmètre du polygone, car un hexagone a 6 côtés. $4\times 6=24$ : la base de la pyramide a un périmètre de 24 cm. Vous pouvez donc écrire : $A={\frac {24h}{2}}+b$ .
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3
Ajoutez la hauteur de la pente. Assurez-vous qu’il s’agit bien de la hauteur de la pente et non de la pyramide. Cette donnée devrait être indiquée dans l’énoncé de l’exercice. Si vous ne la connaissez pas, vous ne pouvez pas employer cette méthode.
- Par exemple, si la pyramide avec une base hexagonale de 24 cm de périmètre a une hauteur de pente de 12 cm, écrivez la formule ainsi : $A={\frac {24\times 12}{2}}+b$ .
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4
Calculez l’aire de la base. La façon dont vous le faites dépend du polygone en question. Pour savoir comment faire, consultez cet article .
- Pour calculer l’aire de la base hexagonale de la pyramide dans notre exemple, consultez cet article . La formule est $Ah={\frac {3{\sqrt {3}}\times c^{{2}}}{2}}$ , $Ah$ étant l’aire du l’hexagone et $c$ la longueur d’un de ses côtés. Dans notre exemple, l’hexagone a des côtés de 4 cm, vous devez donc effectuer le calcul ainsi :
  
  $Ah={\frac {3{\sqrt {3}}\times 4^{{2}}}{2}}$
  
  $Ah={\frac {3{\sqrt {3}}\times 16}{2}}$
  
  $Ah={\frac {48{\sqrt {3}}}{2}}$
  
  $Ah={\frac {83,14}{2}}$
  
  $Ah=41,57$ .
  
  La base de la pyramide a donc une aire de 41,57 cm ² .
CONSEIL D'EXPERT(E)

Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco
Grace Imson est une professeure de mathématiques ayant plus de 40 ans d'expérience dans l’enseignement. Grace exerce actuellement au City College de San Francisco. Auparavant, elle était professeure au département de mathématiques de l'université Saint-Louis. Elle a enseigné cette discipline aux niveaux primaire, intermédiaire, secondaire et universitaire. Elle est titulaire d'un master en éducation avec une spécialisation en administration et supervision, délivré par l'université Saint-Louis.

Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco

Notre experte confirme : « La surface d’une pyramide est égale à la somme de toutes ses faces. Tout d’abord, vous devez définir la surface de la base puis celle de tous les côtés, qui est la surface d’un côté multipliée par le nombre de côtés. »
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5
Inscrivez l’aire de la base dans la formule. Veillez à l’écrire à la place de $b$ .
- Dans notre exemple, l’aire de la base hexagonale étant 41,57 cm ² , la formule pour calculer l’aire totale de la pyramide peut s’écrire ainsi : $A={\frac {24\times 12}{2}}+41,57$ .
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6
Calculez ${\frac {ph}{2}}$ . Multipliez le périmètre de la base de la pyramide par la hauteur de sa pente et divisez le résultat par deux. Vous obtiendrez ainsi l’aire de la surface latérale totale du solide.
- Par exemple :
  
  $A={\frac {24\times 12}{2}}+41,57$
  
  $A={\frac {288}{2}}+41,57$
  
  $A=144+41,57$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1d\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/1d\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
Additionnez les deux aires. La somme de l’aire de la base et de l’aire totale des faces latérales correspond à l’aire de la surface totale de la pyramide en unités carrées.
- Cela nous donne :
  
  $A=144+41,57$
  
  $A=185,57$
  
  Une pyramide régulière avec une base hexagonale de 4 cm de côté et une hauteur de pente de 12 cm a donc une aire totale de 185,57 cm ² .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Calculer l’aire totale d’une pyramide régulière à base carrée

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1
Écrivez la formule de base. La formule pour calculer l’aire totale d’une pyramide régulière à base carrée est $A=c^{{2}}+4{\frac {ch}{2}}$ , $A$ étant l’aire totale de la pyramide, $c$ la longueur d’un côté de sa base carrée et $h$ la hauteur de la pente du solide.
- Ne confondez pas la hauteur de la pente et celle de la pyramide. La hauteur de la pente est la distance entre le sommet du solide et le milieu d’un des côtés de la base ^{[4]
  X
  Source de recherche} . La hauteur de la pyramide est la distance entre son sommet et le centre de sa base sur un axe perpendiculaire à la base.
- Cette formule est simplement une autre façon d’écrire Aire totale = Aire de la base ( $c^{{2}}$ ) + Aire latérale ( $4{\frac {ch}{2}}$ ). Cette formule fonctionne uniquement pour les pyramides régulières à base carrée.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/54\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/54\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Appliquez la formule. Remplacez $c$ et $h$ par leurs valeurs respectives, à savoir la longueur d’un côté de la base carrée et la hauteur de la pente de la pyramide.
- Par exemple, si vous avez une pyramide régulière avec une base carrée de 4 cm de côté et une hauteur de pente de 12 cm, la formule s’écrira ainsi : $A=4^{{2}}+4{\frac {4\times 12}{2}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8e\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8e\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Déterminez l’aire de la base. Calculez le carré de la longueur d’un de ses côtés pour obtenir cette donnée.
- Dans notre exemple :
  
  $A=4^{{2}}+4{\frac {4\times 12}{2}}$
  
  $A=16+4{\frac {4\times 12}{2}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2e\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2e\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Calculez l’aire latérale. Multipliez la longueur d’un côté de la base par la hauteur de la pente de la pyramide et divisez le résultat par 2 pour obtenir la surface totale des triangles latéraux.
- Dans notre exemple, la formule s’écrira ainsi :
  
  $A=16+4{\frac {4\times 12}{2}}$
  
  $A=16+4{\frac {48}{2}}$
  
  $A=16+4\times 24$
  
  $A=16+96$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2f\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-12-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-12-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2f\/Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-12-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Surface-Area-of-a-Pyramid-Step-12-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Additionnez les deux aires. La somme de l’aire de la base et de l’aire totale des faces latérales correspond à la surface totale de la pyramide en unités carrées.
- Cela nous donne :
  
  $A=16+96$
  
  $A=112$
  
  Une pyramide régulière avec une base carrée de 4 cm de côté et une hauteur de pente de 12 cm a donc une aire totale de 112 cm ² .
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Éléments nécessaires

Un crayon à papier
Du papier
Une calculatrice (facultatif)
Une règle graduée (facultatif)

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Références

À propos de ce wikiHow

Coécrit par:

Grace Imson, MA

Professeure de mathématiques au City College of San Francisco

Cet article a été coécrit par Grace Imson, MA . Grace Imson est une professeure de mathématiques ayant plus de 40 ans d'expérience dans l’enseignement. Grace exerce actuellement au City College de San Francisco. Auparavant, elle était professeure au département de mathématiques de l'université Saint-Louis. Elle a enseigné cette discipline aux niveaux primaire, intermédiaire, secondaire et universitaire. Elle est titulaire d'un master en éducation avec une spécialisation en administration et supervision, délivré par l'université Saint-Louis. Cet article a été consulté 51 809 fois.

Catégories: Calculs

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