कैसे पिरामिड की सतह का क्षेत्रफल (surface area) निकालें

सहयोगी लेखक द्वारा Grace Imson, MA

किसी भी पिरामिड की सतह का क्षेत्रफल (surface area), आधार (base) की सतह के क्षेत्रफल को बगल (लेटरल) की सतहों के क्षेत्रफल से जोड़कर निकाला जा सकता है। रेगुलर पिरामिडों के साथ काम करने पर, जब तक आपको पिरामिड के आधार की सतह का क्षेत्रफल निकालना पता है, तो आप फॉर्मूले का उपयोग करके सतह का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं। चूंकि आधार (base) कोई भी बहुभुज (polygon) हो सकता है, तो यह जानना उपयोगी होता है कि पंचकोण (पेंटागोन) और षटकोण (हेक्सागोन) जैसी आकृतियों का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं। आम, रेगुलर वर्ग पिरामिड के साथ काम करने पर, हालांकि, सतह के कुल क्षेत्रफल की गणना एक सरल गणना होती है, अगर आपको पिरामिड के ढलान की ऊंचाई (slant height) और वर्गाकार आधार (base) की भुजा की लंबाई पता है।

विधि 1

विधि 1 का 2:

किसी भी रेगुलर पिरामिड की सतह का क्षेत्रफल (Surface Area) निकालना

आर्टिकल डाउनलोड करें

1
रेगुलर पिरामिड की सतह के क्षेत्रफल (Surface Area) का फॉर्मूला लिखें: फॉर्मूला $SA={\frac {p\times h}{2}}+B$ है, जहाँ $SA$ पिरामिड की सतह का कुल क्षेत्रफल, $p$ आधार की परिधि, $h$ पिरामिड के ढलान की ऊंचाई, और $B$ आधार का क्षेत्रफल हैं। ^{[१]
X
रिसर्च सोर्स}
- किसी भी रेगुलर या इर्रेगुलर पिरामिड की सतह के कुल क्षेत्रफल के लिए फार्मूला: सतह का कुल क्षेत्रफल = आधार का क्षेत्रफल + बगल का क्षेत्रफल है। ^{[२]
  X
  रिसर्च सोर्स}
- “ढलान की ऊंचाई” को “ऊंचाई” से कंफ्यूज न हों। “ढलान की ऊंचाई” पिरामिड के टॉप से आधार के किनारे तक की ढलान की दूरी होती है। ^{[३]
  X
  रिसर्च सोर्स} “ऊंचाई” चोटी (टॉप) से आधार तक की लम्बवत (perpendicular) दूरी होती है।
2
आधार की परिधि (perimeter) को फॉर्मूले में डालें: यदि आपको परिधि नहीं दी गई है, लेकिन आधार के एक किनारे की लंबाई पता है, तो आप किनारों की संख्या से एक किनारे की लंबाई को गुणा करके परिधि को निकाल सकते हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आप षट्कोणी पिरामिड की सतह का क्षेत्रफल निकाल रहे हैं, और आप जानते हैं कि आधार के एक किनारे की लंबाई 4 सेमी. है, तो आप आधार की परिधि निकालने के लिए $4\times 6=24$ कैलकुलेट करेंगे, चूंकि एक षट्कोण में छह किनारे, या भुजाएँ होती हैं। इस प्रकार, आधार की परिधि 24 सेमी. है, इसलिए आपका सतह के क्षेत्रफल का फार्मूला इस तरह दिखेगा: $SA={\frac {24\times h}{2}}+B$ ।
3
फॉर्मूले में ढलान की ऊंचाई (slant height) की वेल्यू रखें: ध्यान रखें कि आप ढलान की ऊंचाई, न कि लम्बवत ऊंचाई (perpendicular height) का उपयोग कर रहे हैं। सवाल में ढलान की ऊंचाई दी हुई होनी चाहिए। यदि आपको ढलान की ऊंचाई का पता नहीं है, तो आप इस तरीके का उपयोग नहीं कर सकते हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर हेक्सागोनल पिरामिड की ढलान की ऊंचाई 12 सेमी. है, आपका फॉर्मूला इस तरह दिखेगा: $SA={\frac {24\times 12}{2}}+B$ ।
4
आधार के क्षेत्रफल की गणना करें: आप यह कैसे करते हैं वह आधार के आकार (shape) पर निर्भर करता है।
- उदाहरण के लिए, अगर आप षट्कोणीय (हेक्सागोनल) पिरामिड के साथ काम कर रहे हैं, तो आधार एक षट्कोण है। आधार का क्षेत्रफल कैसे निकालना है पता करने के लिए, आप षट्कोण-के-क्षेत्रफल-की-गणना-करें पढ़ सकते हैं। फॉर्मूला $A={\frac {3{\sqrt {3}}\times s^{2}}{2}}$ है, जहाँ $s$ षटकोण की एक भुजा की लंबाई है। चूंकि षट्कोण की एक भुजा की लंबाई 4 सेमी. है, तो आप कैलकुलेट करेंगे:
  $A={\frac {3{\sqrt {3}}\times 4^{2}}{2}}$
  $A={\frac {3{\sqrt {3}}\times 16}{2}}$
  $A={\frac {48{\sqrt {3}}}{2}}$
  $A={\frac {83.14}{2}}$
  $A=41.57$ .
  इसलिए आधार का क्षेत्रफल 41.57 वर्ग सेंटीमीटर है।
एक्सपर्ट टिप

Grace Imson, MA
मैथ इंस्ट्रक्टर, सिटी कॉलेज ऑफ San Francisco
ग्रेस इमसन एक मैथ (Math) टीचर हैं जिन्हें 40 वर्ष से अधिक का पढ़ाने का अनुभव है। ग्रेस वर्तमान में City College of SanFrancisco में मैथ इंस्ट्रक्टर हैं और पहले, Saint Louis University के मैथ डिपार्टमेंट में थी। उन्होने एलीमेंट्री, मिडिल, हाइ स्कूल और कॉलेज लेवेल पर मैथ पढ़ाई है। उनके पास, Saint louis University से, एड्मिनिसट्रेशन और सुपरविजन में स्पेशलाइजेशन के साथ, एडुकेशन में MA है।

Grace Imson, MA
मैथ इंस्ट्रक्टर, सिटी कॉलेज ऑफ San Francisco

हमारे विशेषज्ञ मानते हैं: एक पिरामिड की सतह का क्षेत्रफल सभी सतहों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। सबसे पहले, आपको आधार का क्षेत्रफल पता करना होगा, फिर बगल की सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ना होगा, जो एक सतह के क्षेत्रफल का भुजाओं की संख्या गुना है।
5
आधार के क्षेत्रफल को फॉर्मूले में डालें: ध्यान रखें कि आप वेरिएबल $B$ के लिए सब्स्टीट्यूट करें।
- उदाहरण के लिए, अगर षट्कोणीय आधार का क्षेत्रफल 41.57 वर्ग. सेमी. है, आपका सतह के क्षेत्रफल के लिए फॉर्मूला अब इस तरह दिखेगा: $SA={\frac {24\times 12}{2}}+41.57$ ।
6
आधार की परिधि और पिरामिड की ढलान की ऊंचाई को गुणा कर दें: फिर, दो से भाग दे दें। यह आपको पिरामिड के बगल की सतह का क्षेत्रफल दे देगा।
- उदाहरण के लिए:
  $SA={\frac {24\times 12}{2}}+41.57$
  $SA={\frac {288}{2}}+41.57$
  $SA=144+41.57$ ।
7
दो वैल्यू को एक साथ जोड़ दें: बगल की सतह के क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का जोड़, आपको पिरामिड की कुल सतह का क्षेत्रफल वर्ग इकाई में दे देगा।
- उदाहरण के लिए:
  $SA=144+41.57$
  $SA=185.57$
  इसलिए, दिए गए आधार के किनारे की लंबाई 4 सेमी. और ढलान की ऊंचाई 12 सेमी. वाले षटकोणीय पिरामिड की कुल सतह का क्षेत्रफल, 185.57 वर्ग सेंटीमीटर है।

विधि 2

विधि 2 का 2:

एक वर्ग (square) पिरामिड की सतह के क्षेत्रफल का पता लगाना

आर्टिकल डाउनलोड करें

1
वर्ग पिरामिड की सतह के क्षेत्रफल के लिए फॉर्मूला लिखें: फॉर्मूला $SA=b^{2}+4({\frac {bh}{2}})$ है, जहाँ $b$ आधार की एक भुजा की लंबाई है, और $h$ पिरामिड की ढलान की ऊंचाई है।
- “ढलान की ऊंचाई” को “ऊंचाई” से कंफ्यूज न हों: “ढलान की ऊंचाई” पिरामिड की चोटी (टॉप) से आधार के किनारे तक की ढलान की दूरी होती है। ^{[४]
  X
  रिसर्च सोर्स} “ऊंचाई” चोटी से आधार तक की लम्बवत दूरी होती है।
- नोट करें कि यह फार्मूला कुल सतह का क्षेत्रफल = आधार क्षेत्रफल ( $b^{2}$ ) + लेटरल क्षेत्रफल ( $4({\frac {bh}{2}})$ ) को बस दूसरी तरह से लिखने का तरीका है। यह फॉर्मूला केवल रेगुलर वर्ग पिरामिडों पर काम करता है।
2
भुजा की लंबाई और ढलान की ऊंचाई की वैल्यू को फॉर्मूले में रख दें: ध्यान रखें कि आप आधार की भुजा लंबाई को $b$ से और ढलान की ऊंचाई को $h$ से सब्स्टीट्यूट करते हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर वर्ग पिरामिड के आधार की एक भुजा की लंबाई 4 सेमी. है, और ढलान की ऊंचाई 12 सेमी. है, फॉर्मूला इस तरह दिखेगा: $SA=4^{2}+4({\frac {(4)(12)}{2}})$ ।
3
आधार की भुजा की लंबाई का वर्ग निकालें: यह आपको आधार की सतह का क्षेत्रफल दे देगा।
- उदाहरण के लिए:
  $SA=4^{2}+4({\frac {(4)(12)}{2}})$
  $SA=16+4({\frac {(4)(12)}{2}})$
4
आधार की भुजा की लंबाई को ढलान की ऊंचाई से गुणा करें और दो से भाग दे दें: फिर, 4 से गुणा करें। यह आपको पिरामिड की बगल की सतह का क्षेत्रफल दे देगा।
- उदाहरण के लिए:
  $SA=16+4({\frac {(4)(12)}{2}})$
  $SA=16+4({\frac {48}{2}})$
  $SA=16+4(24)$
  $SA=16+96$
5
आधार की सतह के क्षेत्रफल और बगल की सतह के क्षेत्रफल को जोड़ दें: यह आपको पिरामिड की कुल सतह का क्षेत्रफल वर्ग इकाई में दे देगा।
- उदाहरण के लिए:
  $SA=16+96$
  $SA=112$
  इसलिए, आधार की एक भुजा की लंबाई 4 सेमी. और ढलान की ऊंचाई 12 सेमी. वाले, वर्ग पिरामिड की सतह का कुल क्षेत्रफल, 112 वर्ग सेंटीमीटर है।