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Comment trouver l’équation d’une droite

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Au lycée, les exercices consistant à trouver l'équation d'une droite affine sont incontournables. Le plus souvent, dans ce genre d'exercices, on vous donne soit un point de la droite et la pente, aussi appelée coefficient directeur, de cette dernière, soit deux points situés sur la droite. Dans un cas comme dans l'autre, la détermination de l'équation de la droite est assez simple, à condition de connaitre les bonnes formules et de ne pas se tromper dans les calculs.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Déterminer l'équation d'une droite avec un point et la pente

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1
Remplacez la pente par sa valeur dans une formule précise. L'équation théorique d'une droite affine peut être de la forme : $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ , $m$ étant la pente et $(x_{1},y_{1})$ les coordonnées d'un point quelconque de la droite. Cette équation est en fait la même que celle vue précédemment, simplement elle n'est pas présentée de la même façon ^{[1]
X
Source de recherche} .
- Admettons que la pente soit de 2, votre équation théorique devient :
  $y-y_{1}=2(x-x_{1})$ .
CONSEIL D'EXPERT(E)

Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco
Grace Imson est une professeure de mathématiques ayant plus de 40 ans d'expérience dans l’enseignement. Grace exerce actuellement au City College de San Francisco. Auparavant, elle était professeure au département de mathématiques de l'université Saint-Louis. Elle a enseigné cette discipline aux niveaux primaire, intermédiaire, secondaire et universitaire. Elle est titulaire d'un master en éducation avec une spécialisation en administration et supervision, délivré par l'université Saint-Louis.

Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco

Notre experte le confirme : « Lorsque l'on vous donne 2 points pour résoudre l'équation d'une droite, la première chose à faire est de définir sa pente. Pour cela, soustrayez les coordonnées verticales et divisez le résultat par la différence avec les coordonnées horizontales. »
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Remplacez $x_{1}$ et $y_{1}$ par leurs valeurs. Pour obtenir l'équation de la droite affine, il vous faut encore utiliser les coordonnées $(x_{1},y_{1})$ du seul point que l'on vous a donné. Faites l'application numérique avec ces coordonnées ^{[2]
X
Source de recherche} .

Admettons que le point de coordonnées (4, 3) soit sur la droite, l'équation devient la suivante : $y-3=2(x-4)$ .
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3
Isolez $y$ à gauche. C'est ainsi que se présentent souvent les équations de droite. Pour y arriver, respectez l'ordre des opérations et dans le cas présent, servez-vous la distributivité de la multiplication pour sortir $x$ des parenthèses.
- Dans notre exemple, commencez par développer le membre de droite, ce qui donne : $y-3=2x-8$ .
- Ajoutez 3 de chaque côté de l'égalité afin d'isoler $y$ :
  $y-3+3=2x-8+3$ .
- Simplifiez l'équation. Vous obtenez alors l'équation de la droite affine ayant une pente de 2 passant par le point de coordonnées (4, 3) : $y=2x-5$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Déterminer l'équation d'une droite en ayant deux points

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Connaissant les coordonnées de deux points situés sur une même droite, la formule de la pente ( $m$ ) est la suivante :
$m={\frac {(y_{2}-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}$ . Tout point du plan est défini par ses coordonnées (x,y) et ici, les deux points ont pour coordonnées $(x_{1},y_{1})$ et $(x_{2},y_{2})$ . Remplacez dans la formule les coordonnées par leurs valeurs respectives, puis calculez $m$ ^{[3]
X
Source de recherche} .

Si les deux points de coordonnées (3, 8) et (7, 12) sont sur une même droite, la formule se présentera ainsi : $m={\frac {(12-8)}{(7-3)}}={\frac {4}{4}}=1$ . La pente $m$ vaut ici 1. Faites bien attention à mettre les coordonnées dans le bon ordre.
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2
Remplacez $m$ par sa valeur dans l'équation théorique. L'équation d'une droite affine se présente sous la forme : $y=mx+b$ , $m$ étant la pente et $b$ l'ordonnée à l'origine (celle du point d'intersection du graphe avec l'axe des ordonnées). Remplacez $m$ par la valeur trouvée ^{[4]
X
Source de recherche} .
- Dans notre exemple, l'équation de la droite se présente ainsi :
  $y=1x+b$ , qui peut aussi s'écrire $y=x+b$ .
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3
Trouvez $b$ . Pour cela, vous devez prendre les coordonnées de votre point et les mettre dans l'équation provisoire. Prenez les coordonnées d'un des deux points et mettez-les dans l'équation théorique. Ici, il faut juste faire attention à bien mettre les coordonnées dans le bon sens ^{[5]
X
Source de recherche} .
- Il a été établi plus haut que le point (3, 8) était sur la droite, votre équation devient : $8=1(3)+b$ .
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4
Calculez $b$ , l'ordonnée à l'origine. Votre équation théorique est devenue en fait une égalité qui va vous permettre de calculer $b$ , l'ordonnée à l'origine. Même si ce n'est pas très probant ici, respectez toujours l'ordre des opérations et toute opération faite sur un membre de l'égalité doit l'être à l'identique sur l'autre membre. Isolez $b$ à gauche ^{[6]
X
Source de recherche} .
- Précédemment, nous avons établi l'égalité : $8=1(3)+b$ . Faites la multiplication de droite, ce qui donne : $8=3+b$ . Isolez $b$ en soustrayant de chaque côté par 3, ce qui donne : $8-3=3-3+b$ , soit $5=b$ , plus classiquement $b=5$ .
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5
Remplacez $b$ dans l'équation. Pour rappel, l'équation théorique est :
$y=mx+b$ . Dans un premier temps, nous avions trouvé la pente ( $m$ ), nous venons de trouver l'ordonnée à l'origine ( $b$ ), l'équation de la droite affine est trouvée.
- La droite passant par les points (3, 8) et (7, 12) a pour équation :
  $y=1x+5$ ou plus simplement $y=x+5$ .
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