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On demande souvent aux étudiants de réduire les expressions mathématiques "à leur plus simple expression", c'est-à-dire de la simplifier au maximum. Qu'elle soit brute ou simplifiée, l'expression reste la même, simplement dans le deuxième cas, elle est plus élégante et surtout, plus facile à manier. Parfois, l'exercice est considéré comme "fini" quand l'expression est réduite à sa plus simple expression. C'est pourquoi il est important de savoir réduire une expression mathématique. En fait, c'est même une opération quasi constante.
Étapes
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Apprenez l'ordre des opérations. Quand on veut simplifier une expression mathématique, on n'opère pas bêtement de gauche à droite, selon ce qui se présente. Certaines opérations sont prioritaires sur les autres et doivent donc être effectuées en premier. Si vous ne respectez pas cet ordre, vous n'obtiendrez pas le bon résultat. L'ordre des opérations est le suivant : parenthèses, exposants, multiplication, division, addition et enfin soustraction. Il est un moyen mnémotechnique pour retenir cet ordre : pensez à "PEMDAS" : "Puisqu'Elle M'a Dit : Attends Simone !" (libre à vous de trouver mieux !).
- C'est bien de connaitre cet ordre, et ça sert pour beaucoup d'expressions, mais parfois, il faut des techniques plus complexes pour simplifier, y compris les polynômes. Voyez la 2e méthode pour plus d'informations.
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Commencez par traiter ce qui est entre parenthèses. En maths, ces dernières sont là pour indiquer que leur contenu est prioritaire sur tout autre élément. Cette priorité est valable, quelles que soient les opérations qui se trouvent à l'intérieur. Par contre, mais c'est logique, à l'intérieur des parenthèses, s'applique l'ordre des opérations. Ainsi, on doit y faire d'abord les multiplications, puis les additions, etc.
- À titre d'exemple, nous utiliserons l'expression : 2x + 4(5 + 2) + 3 2
- (3 + 4/2)
. Vous devez d'abord calculer tout ce qui est entre parenthèses. 5 + 2 et 3 + 4/2, ce qui nous donne 5 + 2 = 7
et 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5
.
- Le second terme entre parenthèses donne 5, car on doit d'abord, si l'on suit l'ordre des opérations, diviser 4 par 2. Si l'on prend le terme tel qu'il vient dans l'ordre, on fait 3 + 4 et l'on divise par 2, c'est-à-dire qu'on obtient 7/2 : or, c'est faux !
- Nota bene : s'il y a une parenthèse dans la parenthèse, on commence toujours par celle qui est à l'intérieur et l'on finit par celle à l'extérieur.
- À titre d'exemple, nous utiliserons l'expression : 2x + 4(5 + 2) + 3 2
- (3 + 4/2)
. Vous devez d'abord calculer tout ce qui est entre parenthèses. 5 + 2 et 3 + 4/2, ce qui nous donne 5 + 2 = 7
et 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5
.
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Passons ensuite aux exposants. Maintenant que nous avons traité les parenthèses, on doit s'attaquer aux exposants (s'il y en a bien sûr !). Un nombre avec un exposant est facile à repérer : il y a un nombre (base) et en haut à droite, écrit en plus petit, l'exposant, lui aussi un nombre. Faites les calculs à part, puis remplacez la valeur avec exposant par sa valeur calculée.
- Maintenant que nous avons traité les parenthèses, notre expression est désormais la suivante : 2x + 4(7) + 3 2 - 5 . Le seul terme avec un exposant, ici, est : 3 2 , qui équivaut à 9 . On remplace dans l'expression et on obtient : 2x + 4(7) + 9 - 5 .
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C'est au tour des multiplications ! À présent, il convient d'effectuer toutes les opérations de multiplication. Le signe de multiplication se présente sous différentes formes : le symbole ×, un point, un astérisque, ou même rien du tout ! Ainsi, 4(y) est une multiplication, c'est l'équivalent de 4 x y.
- Il y a deux multiplications dans notre exercice : 2x (2x = 2 × x) et 4(7). Comme on ne connait pas la valeur de x, on laisse le terme tel quel, par contre, 4(7) = 4 × 7 = 28 . L'équation devient alors : 2x + 28 + 9 - 5 .
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Passons ensuite à la division. Comme le signe de multiplication, le signe de division se présente sous différentes formes : le symbole ÷, mais aussi la barre oblique (/ ou "slash", comme dans 3/4 par exemple) et le trait de fraction horizontal.
- Dans notre exemple, il n'y a pas de division (sauf le 4/2 vu précédemment), donc nous allons sauter cette étape. Ce constat appelle une remarque : on applique le principe PEMDAS dans la mesure où l'opération existe dans votre expression, sinon on passe à l'opération suivante.
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Ensuite, additionnez. L'étape suivante consiste à tout additionner. On peut, bien sûr, additionner en allant de gauche à droite, mais parfois, on peut faire des regroupements. Par exemple, avec l'expression 49 + 29 + 51 +71, il vaut mieux faire 49 + 51 = 100 et 29 + 71 = 100, ce qui donne : 100 + 100 = 200, plutôt que faire 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, et 129 + 71 = 200.
- À la suite des opérations PEMD, notre expression ressemble à : « 2x + 28 + 9 - 5 ». Maintenant, nous devons additionner ce qui doit l'être, prenez les additions comme elles viennent de la gauche vers la droite. Vous ne pouvez pas additionner 2x et 28, parce qu'il y a une variable (x ne peut pas être additionné tant qu'on ne connait pas sa valeur chiffrée). Quant à 28 + 9, cela donne 37 . Si on écrit une fois encore l'expression, on a : "2x + 37 - 5".
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Soustrayez. La dernière étape de PEMDAS est la soustraction. Il ne doit plus vous rester que des soustractions (mais ce n'est pas obligatoire). Cette étape aurait pu être faite précédemment si on considère que soustraire, c'est additionner un nombre négatif. Ces deux dernières opérations (addition et soustraction) sont interchangeables.
- Grâce à PEMDA, notre expression ressemble à : "2x + 37 - 5". Maintenant, nous allons soustraire ce que nous pouvons. Nous pouvons soustraire 5 de 32, soit 32 - 5= 32 .
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Vérifiez une dernière fois votre expression. Normalement, à ce stade, votre expression est réduite au maximum. Dans le cas particulier des équations avec une inconnue (x), vous avez une expression réduite, mais pas entièrement. Elle le sera dès lors que x se verra attribuer une valeur numérique. Cependant, il est aussi possible de simplifier une équation avec des inconnues (voir ci-dessous).
- Tout PEMDAS a été pris en compte, la réponse finale est : "2x + 32". On ne peut simplifier davantage, car 32 et 2x ne peuvent être additionnés à cause de la présence d'une variable, 2x. Quand on connaitra la valeur de x, on pourra finir les calculs. Reconnaissez que c'est quand même plus pratique que l'expression de départ !
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Additionnez les inconnues identiques. Si vous avez une inconnue dans votre expression, sachez que vous pouvez additionner, ou soustraire, des inconnues identiques ayant le même exposant (ou "termes identiques") : ça fonctionne exactement avec des nombres normaux. Répétons-le : l'inconnue doit être identique, et l'exposant aussi ! Par exemple, 7x et 5x peuvent s'additionner, mais pas 7x et 5x 2 .
- Cette règle s'applique également aux termes contenant plusieurs inconnues. Par exemple, 2xy 2 peut être ajouté à -3xy 2 , mais pas à -3x 2 y, ni à -3y 2 .
- Examinons de près l'expression : x 2 + 3x + 6 - 8x. On peut ici additionner 3x et -8x, car ils ont à la même puissance. Simplifiée, l'expression devient : x 2 - 5x + 6 .
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Simplifiez une fraction en divisant par ou en "supprimant" des facteurs communs . Les fractions qui ne comprennent que des valeurs chiffrées (absence d'inconnues), aussi bien au numérateur qu'au dénominateur peuvent se simplifier de différentes façons. Première méthode (peut-être la plus simple) : vous divisez directement le numérateur par le dénominateur. De plus, si vous avez en haut et en bas de la fraction, un produit, et que l'un des termes apparait des deux côtés, vous pouvez "simplifier", car ils annulent (leur division est égale à 1). Donc, pour résumer, si les deux mêmes termes sont présents au-dessus et au-dessous de la barre de fraction, vous pouvez les supprimer tous les deux.
- Par exemple, prenons la fraction 36/60. Si vous avez une calculatrice, faites la division directement, le résultat sera : 0,6 . Si vous n'en avez pas, vous pouvez supprimer les facteurs communs. Pour cela, décomposez vos deux nombres en facteurs et voyez s'il y a des facteurs communs. 36/60 = (6 × 6)/(6 × 10), ou si vous préférez : 6/6 × 6/10. 6/6 étant égale à 1, l'expression devient donc : 1 × 6/10 = 6/10. Ce n'est pas tout à fait terminé, puisque 6 et 10 sont divisibles par 2, on obtient 3/5 , soit 0,6.
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Pour les fractions avec des inconnues, c'est pareil. Regardez s'il n'y aurait pas des termes (avec une inconnue) communs aux deux parties de la fraction. On peut simplifier l'inconnue avec son coefficient et son exposant.
- Prenons l'expression (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x).Cette fraction peut être récrite sous la forme : (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x apparait à la fois en numérateur et en dénominateur, donc on peut le supprimer en haut et en bas. On obtient alors : (x + 1)/(5 - x) . De même, dans l'expression (2x 2 + 4x + 6)/2, tous les termes sont divisibles par 2 On obtient alors : (2(x 2 + 2x + 3))/2 , et plus loin : x 2 + 2x + 3 .
- Attention ! Cette simplification ne marche que si l'on a un produit de facteurs en haut, et idem en bas. Par exemple, dans l'expression (x(x + 2))/x, on peut simplifier par "x", ce qui nous donne : (x + 2)/1 = (x + 2). Par contre, avec (x + 2)/x, on ne peut rien faire, car on a une somme en haut et non un produit. On ne peut simplifier sous cette forme : 2/1 = 2.
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Développer ou factoriser ? Dans certains cas, quand on veut simplifier, aussi bizarre que cela paraisse, il vaut mieux développer que factoriser. Il n'y a pas de règle établie. Ce n'est qu'avec l'habitude qu'on voit ce qu'il convient de faire, le but étant toujours de simplifier l'expression.
- Par exemple, l'expression 3(x 2 + 8), lorsqu'on la développe, donne : 3x 2 + 24 , alors que 3x 3 + 24x peut être factorisée, et ça donnera : 3x(x 2 + 8).
- Dans certains cas, il vaut mieux conserver la constante qui est en facteur devant une expression entre parenthèses. En effet, elle peut être amenée à disparaitre. Il ne sert rien de développer trop tôt, une simplification est toujours possible. Dans la fraction (3(x 2 + 8))/3x, par exemple, 3 est présent au numérateur et au dénominateur, on peut donc le supprimer, ce qui donne : (x 2 + 8)/x. C'est quand même plus facile à manipuler que (3x 3 + 24x)/3x, résultat que l'on aurait obtenu si l'on avait tout développé.
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Simplifiez en factorisant. La factorisation est une technique qui peut permettre de simplifier une fraction en supprimant parfois des polynômes. Factoriser est le contraire de développer. On transforme une expression longue, une somme en général, en une expression plus courte qui, elle, est un produit de facteurs. Cette mise en facteur ne doit se faire que si, derrière, il y a simplification (comme dans une fraction). Dans certains cas (le plus souvent avec des équations du second degré), la factorisation permet également de trouver plus rapidement et facilement les racines de l'équation.
- Prenons à nouveau l'expression x 2 - 5x + 6. Cette expression peut être factorisée en (x - 3)(x - 2). Donc, si plus tard, x 2 - 5x + 6 se retrouvait en numérateur d'une fraction, et si l'on avait (x - 2) en dénominateur, on pourrait alors simplifier par ce terme. Exemple : on a à simplifier (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)). On factorise d'abord le numérateur, et ensuite on simplifie. Autrement dit, on se retrouve avec (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), on simplifie par (x - 2) et l'on obtient : (x - 3)/2 .
- Comme cela a été signalé plus haut, il y a parfois d'autres raisons pour factoriser. En effet, cette manipulation sert pour simplifier, mais elle permet aussi de résoudre plus facilement une équation, surtout si cette dernière est égale à 0. Par exemple, prenons l'équation x 2 - 5x + 6 = 0. Si on factorise, on obtient : (x - 3)(x - 2) = 0. Pour résoudre cette équation, il suffit que l'un des termes soit égal 0, puisque 0 fois x = 0. Donc, 3 et 2 sont les solutions.
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